黑龙江省“六校联盟”2023-2024学年高三下学期联合适应性测试 数学 含答案

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黑龙江省“六校联盟”高三年级联合适应性测试
数学试题
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，若 ，则 （ ）
A．B．C．D．
2．在正项等比数列 中， 为其前 项和，若 ， ，则 的值为（ ）
A．50 B．70 C．90 D．110
3．已知 ，且 ，则 （ ）
A．B．C．D．
4．已知 ， 为单位向量，且 ，则 ， 的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5． 已 知 为 抛 物 线 ： 的 焦 点 ， 过 且 斜 率 为 1的 直 线 交 于 ， 两 点 ， 若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼．闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，
即对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到达另一点的距离是在南北方向上旅
行的距离加上在东西方向上旅行的距离，“欧几里得距离（简称欧氏距离）”是指平面上两点的直线距离，
如图 a所表示的就是曼哈顿距离，b所表示的就是欧氏距离，若 ， ，则两点的曼哈顿距
离 ，而两点的欧氏距离为 ，设点 ，
在平面内满足 的点组成的图形面积记为 ， 的点组成的图形面积记为 ，则
（ ）
A．0 B．C．D．
7．已知 ， ， ，则（ ）
A．B．C．D．
8．以正方体 的 8个顶点中的某 4个为顶点可组成一个三棱锥，在所有这些三棱锥中任取
一个，则该三棱锥各个面都不为直角三角形的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．已知直线 是函数 图象的一条对称轴，则（ ）
A． 是偶函数 B． 是 图象的一条对称轴
C． 在 上单调递减 D．当 时，函数 取得最小值
10．已知 ， ，点 为曲线 上动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 为抛物线 ，则
B．若 为椭圆 ，则
C．若 为双曲线 ，则
D．若 为圆 ，则
11．容器中有 ， ， 3种颜色的小球，若相同颜色的两颗小球发生碰撞，则变成一颗 球；不同颜色的
两颗小球发生碰撞，会变成另外小球．例如，一颗 球和一颗 球发生碰撞则变成一颗 球，现有 球 10
颗， 球 8颗， 球 9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩 1颗球．则下列结论正确的是（ ）
A．一定经过了 26 次碰撞 B．最后一颗球可能是 球
C．最后一颗球可能是 球 D．最后一颗球可能是 球
三、填空题：本题共 3小题．每小题 5分．共 15 分
12．复数 的实部与虚部的和为________．
13．今年冬天冰雪旅游大热，黑龙江全省人民热情招待着来自南方的游客们，某旅行团共有游客 600 人，其
中男性 400 人，女性200 人．为了获得该团游客的身高信息，采用男、女按比例分配的分层随机抽样的方法
抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），经计算得到男生样本的均值为 170，方差为18，女生样本的
均值为 161，方差为30．根据以上数据，估计该旅行团游客身高的均值为________；估计该旅行团游客身高
的方差为________．
14．已知正三棱锥的外接球的表面积为 ，则正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高是________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）已知在锐角三角形 中，边， ， 对应角 ， ， ，向量 ，
，且 与 垂直， ．
（1）求角 ；
（2）求 的取值范围．
16．（15 分）已知数列 的前 项和为 ，满足 ， ．
（1）若数列 满足 ，求 通项公式；
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