重庆市七校联盟2023-2024学年高三下学期第一次月考试题 数学 答案

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七校联盟 2024 年第一学月联考高三数学答案 第 1 页 共 6 页
七校联盟 2024 年第一学月联考
高三数学答案
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分
题号
1 2 3 4 5 6 7 8
答案
A C A D B B C A
8．（解析）注意到，
(0) 1f=
，因 为
'( ) ( 1)
x
f x ae a= −−
，且
'(0) 1f=
，所以函数
()y fx=
在点
(0,1)
处的切线方程为
1yx= +
.当
0a>
时，由
可知，
() (1)1 (1)(1)1 1
x
fxaeax aax ax ax= − − +− ≥ + − − +− = +
，所以
||PQ
的最小值为直线
1yx= +
与直线
()y gx x b= = +
的距离，由点到直线的距离公式知
| 1| 2
2
b−=
，解 得
1b= −
或
3b=
（舍去），所以
1b= −
.
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多个选
项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
题号
9
10
11
答案
BCD
ABC
BCD
11．（解析）当
0a=
时，
3
() 1fx x= +
，则
'2
() 3fx x=，则
'(0) 0f=
，则 曲 线
()y fx=
在点
(0,1)
处的切线方程为
1y=
，故
A
选项错误.当
3a=
时，
3
() 3 1fx x x=−+
，则
'2
() 3 3fx x= − ，当
( , 1)x∈ −∞ −
和
(1, )+∞
时， '() 0fx>，
()fx
单调递增，
( 1,1)x∈−
时， '() 0fx<，
()fx
单
调递减.又因为
( 1) 3f−=
，
(1) 1f= −
，结合三次函数的图象特征，此时，
()fx
有三个零点，
故
B
选项正确.设
3
() 1f x x ax=−+
的三个零点分别为 1
x
，2
x
，
3
x
，则有
3123
1 ( )( )( )x ax xxxx xx− += − − −
，展开后比对含
2
x
项的系数，可得
123
0xxx++=
，故选
项
C
正确.当
0a≤
时，易知
()fx
在
R
上单调递增，结合图象知不符合题意，故
0a>
.因为
'' () 6fx x=，'' (0) 0f=，因此函数
3
() 1f x x ax=−+
的图象关于点
(0,1)
成中心对称图形.则
此正方形必以
(0,1)
为中心，不妨设正方形的四个顶点分别为
A
，
B
，
C
，
D
，其中一条对角
线
AC
的方程为
1( 0)y kx k=+>
，则
3
11x ax kx− += +
，即 3
( )0
x a kx−+ =
，解得
x ak=±+
，则
2
| | 21AC k a k=++
，同理可得
2
11
| | 21BD a
kk
=+−
.由
22
| || |AC BD=得
23
1
( 1) 0k ak k
− + +=
，根据题意，方程
23
1
( 1) 0k ak k
− + +=
只有一个正解，
当
1k=
时，显然不成立.故
1k≠
，则
32
2
2
11
12
11
1
kk
kk
ak
kk
kk
kk
++
−= = =− +
−−−
，因为
0a>
，则
(0,1)k∈
，设
1
tkk
= −
，则
( ,0)t∈ −∞
.设
2
()gt t t
= +
，根据题意，只需要直线
ya= −
与函
数
2
()gt t t
= +
的图象只有唯一的公共点即可.结合双勾函数的图象可得
22a−=−
，解得
22a=
.所以选项
D
正确.
{#{QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNABCA=}#}
七校联盟 2024 年第一学月联考高三数学答案 第 2 页 共 6 页
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
题号
12 13 14
答案
14．（解析）：把平面
11
AAC C
沿
1
AA
展开到与平面
11
ABB A
共面的
11
AAC C
′′
的位置，
延长
1
BB
到
1
B′
，使得
1 1
BB B B
′=
，连结
1
BF
′
，如图 1所示，
则
11
BF B F
′
=
，要使得
11
C E EF FB++
的长度最小，则需
1
C′
，
E
，
F
，
1
B′
四点共线，
此时
1 1 1 1 11
C E EF FB C E EF FB C B
′ ′ ′′
++ = ++ =
，
因为
11
4CB
′
=
，
1
4BB
′
=
，
1 11
90B BC
′′
∠=°
，
所以
1 111 45B BCB
′ ′′
∠=∠ =°
，
所以
1
2BF BB
′
= =
，
1 11 1AE AC′
= =
，
故
1= =AE AF
，
145AFE BFB∠=∠ =°
，
所以
190B FE∠=°
，
2EF =
，
1
22BF=
，
1
10EB =
，
所以
1
EFB△
的外接圆是以
1
EB
的中点
O
为圆心，
110
22
EB =
为半径的圆
如图 2，连接
1
,OA OF
，
由于
1 11 1AE AC= =
，所以
22
1 1 11
2CE AE AC= +=
，又
22
11 11 11
22CB AB AC= −=
所以
222
1 1 11
EB EC C B= +
，
所以
11
EC B
的外接圆是以
1
EB
的中点
O
为圆心，
110
22
EB =
为半径的圆
所以三棱锥
11
B C EF−
外接球的球心为
O
，半径为
10
2
，故外接球的表面积为
10
4π10π
4
×=
．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（满分 13 分）
详解：（1）由倍角公式得：
3sin31cos
=++
BB
1)
6
sin( =+∴
π
B
{#{QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNABCA=}#}
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