重庆市南开中学校2023-2024学年高三下学期2月月考 数学答案

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重庆市高 2024 届高三第六次质量检测
数学试题参考答案与评分细则
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
选项
C
D
D
D
A
A
D
C
BCD
AB
AC
一､单项选择题：本题共 8小题.每小题 5分，共 40 分.
5.A 【解析】分子分母同时除以
ex
得
()
22
1sin
2
ee
xx
xx
fx −
+−
=−
，函数
22
1sin
2
xx+−
是偶函数，函数
是奇函数，所以函数
( )
fx
是奇函数，排除
()
C, fx
的定义域是
{ }
0xx≠∣
，排除
B
，当
x
∞
→+
时，
( )
0fx
+
→
，所以排除
D
，所以选
A
.
6.A 【解析】因为
3, 120AB ACB
∠
= =
，所以
ABC
的外接圆半径为
31
2sin120
r= =
在
ABC
中，由余弦定理可得
2 22 22 2
3 2 cos120 ( )
AB AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC==+−⋅ =++⋅=+ −⋅
所以
2
( ) 31
AC BC AC BC⋅ = + −=
，所以
13
sin120
24
ABC
S AC BC
=⋅=
，
因为
1 13 6
. 22
3 34 6
O ABC ABC
V Sh h h
−= ⋅=× ×= ∴=
球半径
22
3R hr= +=
，所以球面积
2
4π36πSR= =
，故选 A
7.D 【解析】由
( )
11
0
MF MN F N+ ⋅=
  
，可知
1
MF MN=
，故
2 2 12
2F N MN MF MF MF a=−=−=
，
则
1 22 1
4, 3 6, 8F N a MF NF a MF a= = = =
，在
12
MF F
与
中由余弦定理可得：
222 222
12 12
4 4 16 4 36 64
cos ,cos
8 24
ac a c a a
FFN FFM
ac ac
∠∠
+− + −
= =
，
而
12 12
cos cos 0FFM FFN
∠∠
+=
，解得
22
4ca=
，即
2e=
.
8.C 【解析】由题可知：
2
63 3
33
()
21 21 21
4
ab
ab ab
ab ab
+= =− − +
++
⋅+
（当且仅当
ab=
时取等），
化简可得
( )
2
( ) 3 20ab ab+ − ++
，解得
12ab+
.
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二､多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.BCD（选对 1个得 2分，选对两个得 4分）
10.AB（选对一个得 3分）
【解析】对于
A
，一圆锥的底面半径
3
r=
，则底面圆周长为 23π，其侧面展开图是圆心角为
3π
的扇
形，
23π2π3π
2πl×=
，得
2l=
，所以
A
正确；
对于
B
，因为
3r=
，母线长为 2，所以该圆锥的高为 1，所以其体积为
2
1π( 3) 1 π
3×=
，故 B正确
对于
C
，假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分，将其中的一部分展开，
则其侧面展开图是一个圆心角为
3π
2
的扇形，
所以从
A
点经过圆锥的表面到达
B
点的最短距离为
3π
3π
2
2 2 sin 4sin 2 3
24
×× = ≠
，故
C
不正确；
对于
D
，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面为腰长为 2的等腰三角形，
设其顶角为
θ
，则该三角形的面积为
12 2sin
2
S
θ
= ××
.当截面为轴截面时，
2π
3
θ
=
，则
2
0π
3
θ
<
故当
π
2
θ
=
时，
max
1221 2 3
2
S= ×××= ≠
，故 D不正确.
故选：
AB
11.AC（选对一个得 3分）
【解析】由题可知：平面
α
的法向量
( )
2,3, 4
m=
，平面
β
的法向量
( ) ( )
1
1
5
1, 2, 2 , : 111
2
z
xy
nl −−
−
=−− = = −
，恒过
( )
5,0, 1
−
，方向向量
1
1,1, 1
2
l
= −


2
1
1
3
4
:23 4
z
y
x
l−
+
= =
，恒过
11
0, ,
43

−


，方向向量
( )
22,3, 4l=

A.
1
0lm⋅=
，且
( )
25304 1 5×+×+×− ≠
，故 1
l
不在
α
上，则 1
l
∥
α
.正确
B.
0nm
⋅=

，则
αβ
⊥
.错误
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C.
1
1
2
ln= −
，则
1
l
β
⊥
，正确.
D.由
2 34
1 22
≠≠
−−
，可知
2
l

与
n
不平行，则
2
l
与
β
不垂直.错误.
三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12.2
13.36 【解析】若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：
1,2,2
的选法总数为：
23
33 18CA=
若甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：
1,1, 3
的选法总数为：
11 3
32 3
2
2
18
CC A
A=
所以不同的选法总数为 36.
14.2021 【解析】令
()( )
11
2
3
t fx x
fx x
= + −− +
+
，则
( )
4ft= −
，令
xt=
，则
( ) ( )
11 1
2 41 2
3
t ft t t
ft t t
= + −− + =−−−− +
+
，解得
1t= −
或
1
2
−
.而
( ) ( )
17f x fx−− + =−
，故
17
22
f
−=−


.因此
1
t= −
.则
( ) ()
11
12
3
fx x
fx x
−= + − − +
+
，
即
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
3
1 1 11
33
33
3
fx x
fx x fx x
fx x x fx xfx
+−
++ =+ ⋅ +−= − =
++
+
.
因此
()
30fx x
+−=
或
( )
( )
31xfx+=
，当
( )
( )
31
xfx+=
时，
( )
13
fx x
= −
，在
( )
0,
∞
+
上单调递减，
不满足题意，舍去；当
( )
3
fx x= −
时，满足题意.则
( )
2024 2021f=
.
四､解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
（1）证明：取
AF
中点
M
，连接
,DM GM G､
为
BF
中点，
∴
又
2,AB DE GM DE∴∥ ∥
∴
四边形
DEGM
为平行四边形，
DM∴
∥
EG
，又
DM ⊂
平面
,DAF EG ⊄
平面
,DAF EG∴
∥
平面
DAF
.
（2）
1OB BF= =
，易知
60 , 90 3ABF AFB AF
∠∠
= =∴=

.
DA ⊥
平面
ABF
，且直线
DF
与圆柱底面所成角为
45
，即
45 , 3
AFD AD
∠
=∴=
.
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