重庆市九龙坡区2024届高三下学期5月第三次学业质量检测考试 数学 PDF版含答案（可编辑）

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高2024 届学业质量调研抽测 (第三次)
数学试卷
本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．微信公众号“山城学术圈”整理汇编。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1. 已知集合 N= {1,2}，则满足 M∪N=x∈Z|x2-4x<0
的集合 M共有 ( )
A. 1 个B. 3 个C. 4 个D. 8 个
2. 设z1,z2是方程 x2+px +q=0的两根其中 p,q∈R，若 z1=-1+2 i(i为虚数单位).则1
z1
+1
z2
= ( )
A. -2
3B. 2
3C. -2 D. 2
3. 己知 |a
| = 2，b
= (1,2)，|a
+2b
| = 2，则向量 a
,b
的夹角为 ( )
A. π
6B. π
3C. 2π
3D. 5π
6
4. 函数 f(x) = 2sinωx(ω>0)，则“ 3
2<ω<3”是“f(x)图象在区间 -π
6,π
3
上只有一个极值点”的 ( )
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
5. 用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字 1，3相邻的条件下，数字 2，4，6也相邻
的概率为 ( )
A. 3
10 B. 3
5C. 1
10 D. 1
5
6. 正整数 1,2,3,⋯,n的倒数的和 1+1
2+1
3+⋯+ 1
n已被研究几百年，但迄今为止仍没有得到求和公式，
只是得到了它的近似公式，当 n很大时，1+1
2+1
3+⋯+ 1
n≈lnn+γ.其中 γ称为欧拉一马歇罗尼常
数，γ≈0.577215664901 ⋯，至今为止都不确定 γ是有理数还是无理数.设[x]表示不超过 x的最大整数，
用上式计算 1+1
2+1
3+⋯+ 1
2024
的值为 ( ) (参考数据：ln2 ≈0.69，ln3 ≈1.10，ln10 ≈2.30)
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
7. 若方程 sin 2x-π
6
=3
5在(0,π)的解为 x1,x2x1<x2
，则 tan 2x1-2x2
= ( )
A. -24
7B. 24
7C. -3
4D. 3
4
8. 已知椭圆 C:x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)的短轴长为 2，上顶点为 A，左顶点为 B，F
1,F
2分别是椭圆 C的左、右
焦点，且 △F
1AB 的面积为 2-3
2，点 P为椭圆 C上的任意一点，则 1
PF
1
+1
PF
2
的取值范围为 ( )
A. [1,2]B. [1,4]C. [2,4]D. [2,3]
{#{QQABBYCQggCAApBAABgCAw0QCEIQkAACAKoORAAMoAIACBNABAA=}#}
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 已知样本数据 x1,x2,x3的平均数为 2，方差为 1，则下列说法正确的是 ( )
A. 数据 3x1-1，3x2-1，3x3-1的平均数为 6 B. 数据 3x1-1，3x2-1，3x3-1的方差为 9
C. 数据 x1,x2,x3，2的方差为 1 D. 数据 x1
2,x2
2,x3
2的平均数为 5
10. 在棱长为 2的正方体 ABCD -A1B1C1D1中，P，E，F分别为棱 AA1,CC1,BC 的中点，O为侧面正方形
AA1B1B的中心，则下列结论正确的是 ( )
A. 直线 AC ⎳平面 PEF B. 直线 PF 与平面 POE 所成角的正切值为 5
5
C. 三棱锥 O-PEF 的体积为 2
3D. 三棱锥 P-BCE 的外接球表面积为 9π
11. 已知函数 f(x)及其导函数 fx
的定义域为 R，若 f(x)为奇函数，f(2) =-f(1) ≠ 0，且对任意 x,y∈R，
f(x+y) = f(x)f(y) + fx
f(y)，则下列结论正确的是 ( )
A. f(1) =-1 B. f(12) = 0 C.
2024
k=1
f
(k) = 0 D.
2024
k=1
f
(k) =-1
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12. x-2
x
6展开式中的常数项是 __________.
13. 设△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，其面积为 S，已知 asin A+B
2=csinA，c=2. 则C= _
_________；S的最大值为 __________.
14. 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值 λ(λ>0,λ≠1)的
点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角
坐标系 xOy 中，A(-4,1)，B(-4,4)，若点 P是满足 |PA|
|PB|=1
2的阿氏圆上的任意一点，点 Q为抛物线 C:
y2=16x上的动点，Q在直线 x=-4上的射影为 R，则 |PB| +2|PQ| +2|QR|的最小值为 _______.
四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
己知 Sn是等差数列 an
的前 n项和，S5=a11 =20，数列 bn
是公比大于 1的等比数列，且 b2
3=b6，
b4-b2=12.
(I)求数列 an
和bn
的通项公式；
(II)设cn=Sn
bn
，求使 cn取得最大值时 n的值.
{#{QQABBYCQggCAApBAABgCAw0QCEIQkAACAKoORAAMoAIACBNABAA=}#}
16. (本小题满分 15 分)
如图，在三棱台 ABC -A1B1C1中，底面 △ABC 为等边三角形，AA1⊥平面 ABC ，AC =2AA1=
2A1C1=2，且 D为AC 的中点.
(I)求证：平面 ABC1⊥平面 A1BD；
(II)求平面 ABC1与平面 BB1C1C所成角的正弦值.
17. (本小题满分 15 分)在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制
为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最
后决赛；“败区”的两个对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”
对阵，胜者晋级到最后的决赛，败者获得第三名：最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，
败者获得第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 p0<p<1
，且不同对阵结果相互独立.
(I)若p=0.4，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望.
(II)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人抽签决定两两对阵，两场比赛的胜者晋级到冠军决
赛，败者参加三、四名比赛，哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
{#{QQABBYCQggCAApBAABgCAw0QCEIQkAACAKoORAAMoAIACBNABAA=}#}
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