2023新高考2卷数学详细解析

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A B D B C C D C AC AC BCD ABD
13 14 15 16
3
28
2，−2，1
2，−1
2中选
一个即可；
−3
2
(逐题详解)
1．在复平面内 1+3i
3−i
对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【参考解析】z=1+3i
3−i
=3−i+9i −3i2=6+8i，故在第一象限，故选 A；
2．设集合 A=0,− a
，B=1,a−2,2a−2
，若 A⊆B，则 a=
A．2B．1C．2
3D．−1
【参考解析 1】直接验证选项，观察 BD，因此先验证 a=1，
此时 A=0,− 1
，B=1,− 1,0
，满足，故直接选 B；
【参考解析 2】依题有 a−2=0或2a−2=0；
当a−2=0时，解得 a=2，此时 A=0,− 2
，B=1,0,2
，不满足；
当2a−2=0时，解得 a=1，后面同解析 1；
3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初
中部和高中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 和200 名学生，则
不同的抽样结果共有 ( ) 种
A．C45
400C15
200 B．C20
400C40
200 C．C30
400C30
200 D．C40
400C20
200
【参考解析】由分层抽样已知初中部抽 40 人，高中部抽 20 人，所以为 C40
400C20
200 ，故选 D；
4．若 f x
=x+a
ln 2x−1
2x+1为偶函数，则 a=
A．−1B．0C．1
2D．1
【参考解析】由九大奇函数易知 y=ln 2x−1
2x+1为奇函数，所以 y=x+a也要为奇函数，故 a=
0，故选 B；
5．已知椭圆 C：
x2
3+y2=1的左右焦点分别为 F
1，F
2，直线 y=x+m与C交于 A，B两点，
若ΔF
1AB 的面积是 ΔF
2AB 的2倍，则 m=
·1·
A．2
3B．2
3C．−2
3D．−2
3
−2+m
2=2×2+m
2，解得 m=− 2
3或m=− 3 2(舍)，故选 C；
【参考解析】依题有
6．已知函数 f x
=aex−lnx在区间 1,2
上单调递增，则 a的最小值为
A．e2B．eC．e−1D．e−2
【参考解析】fx
=aex−1
x≥0在1,2
上恒成立，即 0<1
a≤xex在1,2
上恒成立，
令g x
=xex，则 gx
=x+1
ex在1,2
上单增，所以 1
a≤g1
=e，所以 a≥e−1，故选 C；
7．已知 α为锐角，cosα=1+5
4，则 sin α
2=
A．3−5
8B．−1+5
8C．3−5
4D．
−1+5
4
【参考解析 1】由二倍角公式得 cosα=1+5
4=1−2sin2α
2⇒sin2α
2=3−5
8，用代选项验
证法知 D对；
【参考解析 2】由二倍角公式得 cosα=1+5
4=1−2sin2α
2⇒sin2α
2=3−5
8=6−2 5
16 =
5−1
4
2，所以 sin α
2=± −1+5
4，而 sin α
2=− −1+5
4无选项对应，故本题肯定不满
足，故选 D；
验证的事就留到考后分析；
8．记 Sn为等比数列 an
的前 n项和，若 S4=− 5，S6=21S2，则 S8=
A．120 B．85 C．−85 D．−120
【参考解析 1】依题有
a11−q4
1−q=− 5
a11−q6
1−q=21 ×a11−q2
1−q
⇒q2=4
a1
1−q=1
3
，
所以 S8=a11−q8
1−q=1
3×1−44
=− 85，故选 C；
【参考解析 2】易知 S2，S4−S2，S6−S4，S8−S6也为等比数列，
所以 S4−S2
2=S2⋅S6−S4
，解得 S2=− 1或S2=5
4，
当S2=− 1时，S6−S4
2=S4−S2
⋅S8−S6
⇒S8=− 85；
当S2=5
4时，与 S4=− 5联立会推出 q2=− 5，故舍去；
多选：
9．已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，AB 为底面直径，∠APB =120°，PA =2，点 C在底
面圆周上，且二面角 P−AC −O为45°，则
A．该圆锥的体积为 πB．该圆锥的侧面积为 4 3π
·2·
C．AC =2 2 D．ΔPAC 的面积为 3
【参考解析】
如上图所示，由几何关系易知 PO =1=h，AO =BO =3=r，
取AC 中点为 H，则二面角 P−AC −O即为 ∠PHO =45°，所以 OH =PO =1，
所以 AH =CH =AO2−OH2=2，所以 AC =2 2，
对于 A：V=1
3πr2h=π，故 A对；
对于 B：S侧=πrl =2 3π，故 B错；
对于 C：由前面分析知对；
对于 D：SΔPAC =1
2×AC ×PH =2，故 D错；
综上，选 AC．
10．设 O为坐标原点，直线 y=− 3x−1
过抛物线 C:y2=2px p >0
的焦点且与 C交于
M，N两点，l为C的准线，则
A．p=2B．MN
=8
3
C．以 MN 为直径的圆与 l相切 D．ΔOMN 为等腰三角形
【参考解析】易知焦点为 1,0
，所以 p
2=1⇒p=2，故 A对；
由抛物线常见结论知 MN
=4
sin22π
3
=16
3，故 B错；(下面增加联立的常规过程)；
联立 y=− 3x−1
y2=4x
⇒3x2−10x+3=0，所以 M1
3,2 3
3
，N3,− 2 3
，
所以 MN
=16
3，故 B错；
同样由抛物线常见结论知 C对；
由前面知 OM
=13
3，ON
=21，MN
=16
3，故 D错；
综上，选 AC．
考后分析 C：
圆心为 M5
3,−2 3
3
，r=MN
2=8
3=5
3+1，故 C对；
·3·
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