2023年高考真题——文科数学（全国甲卷）

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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设全集
 
1, 2,3, 4,5U
，集合
 
1, 4 , 2, 5M N 
，则
U
N M ð
（ ）
A.
 
2,3,5
B.
 
1,3, 4
C.
 
1, 2, 4, 5
D.
 
2, 3, 4,5
2.
 
  
3
5 1 i
2 i 2 i
 
（ ）
A.
B. 1 C.
1 i
D.
1 i
3. 已知向量
 
3,1 , 2,2a b 
 
，则
cos ,a b a b  
 
（ ）
A.
1
17
B.
17
17
C.
5
5
D.
2 5
5
4. 某校文艺部有 4名学生，其中高一、高二年级各 2名．从这 4名学生中随机选 2名组织校文艺汇演，则
这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A.
1
6
B.
1
3
C.
1
2
D.
2
3
5. 记
n
S
为等差数列
 
n
a
的前
n
项和．若
2 6 4 8
10, 45a a a a 
，则
5
S
（ ）
A. 25 B. 22 C. 20 D. 15
6. 执行下边的程序框图，则输出的
B
（ ）
A. 21 B. 34 C. 55 D. 89
7. 设
1 2
,F F
为椭圆
2
2
: 1
5
x
C y 
的两个焦点，点
P
在
C
上，若
1 2 0PF PF 
 
，则
1 2
PF PF 
（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
8. 曲线
e
1
x
yx
在点
e
1, 2
 
 
 
处的切线方程为（ ）
A.
e
4
y x
B.
e
2
y x
C.
e e
4 4
y x 
D.
e 3e
2 4
y x 
9. 已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)
x y a b
a b
 
的离心率为
5
，其中一条渐近线与圆
2 2
( 2) ( 3) 1x y   
交于 A，
B两点，则
| |AB
（ ）
A
.
5
5
B.
2 5
5
C.
3 5
5
D.
4 5
5
10. 在三棱锥
P ABC
中，
ABC
是边长为 2
的
等边三角形，
2, 6PA PB PC 
，则该棱锥的体积
为（ ）
A. 1 B.
3
C. 2 D. 3
11. 已知函数
 
2
( 1)
ex
f x  
．记
2 3 6
, ,
2 2 2
a f b f c f
 
 
 
 
，则（ ）
A.
b c a 
B.
b a c 
C.
c b a 
D.
c a b 
12. 函数
 
y f x
的图象由
cos 2 6
y x
 
 
 
 
的图象向左平移
6
个单位长度得到，则
 
y f x
的图象与
直线
1 1
2 2
y x 
的交点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13. 记
n
S
为等比数列
 
n
a
的前
n
项和．若
6 3
8 7S S
，则
 
n
a
的公比为________．
14. 若
 
2π
( 1) sin 2
f x x ax x
 
 
 
 
为偶函数，则
a
________．
15. 若x，y满足约束条件
3 2 3,
2 3 3
1,
x y
x y
x y
 
 
 
，则
3 2z x y 
的最大值为________．
16. 在正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，
4,AB O
为
1
AC
的中点，若该正方体的棱与球
的球面有公共点，
则球
的半径的取值范围是________．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17. 记
ABC
的内角
, ,A B C
的对边分别为
, ,a b c
，已知
2 2 2
2
cos
b c a
A
 
．
（1）求
bc
；
（2）若
cos cos 1
cos cos
a B b A b
a B b A c
 
，求
ABC
面积．
18. 如图，在三棱柱
1 1 1
ABC A B C-
中，
1
A C
平面
, 90ABC ACB  
．
（1）证明：平面
1 1
ACC A
平面
1 1
BB C C
；
（2）设
1 1
, 2AB A B AA 
，求四棱锥
1 1 1
A BB C C
的高．
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