2023年高考真题——数学（新高考II卷） 含解析

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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅱ卷）
数 学
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1. 在复平面内，
 
1 3i 3 i 
对应的点位于（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为
 
2
1 3i 3 i 3 8i 3i 6 8i  
，
则所求复数对应的点为
 
6,8
，位于第一象限.
故选：A.
2. 设集合
 
0,A a 
，
 
1, 2, 2 2B a a 
，若
A B
，则
a
（ ）．
A. 2 B. 1 C.
2
3
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据包含关系分
2 0a 
和
2 2 0a 
两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为
A B
，则有：
若
2 0a 
，解得
2a
，此时
 
0, 2A 
，
 
1, 0, 2B
，不符合题意；
若
2 2 0a 
，解得
1a
，此时
 
0, 1A 
，
 
1, 1,0B 
，符合题意；
综上所述：
1a
.
故选：B
.
3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高
中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，则不同的抽样结果共有
（ ）．
A.
45 15
400 200
C C
种B.
20 40
400 200
C C
种
C
.
30 30
400 200
C C
种D.
40 20
400 200
C C
种
【答案】D
【解析】
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取
400
60 40
600
 
人，高中部共抽取
200
60 20
600
 
，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有
40 20
400 200
C C
种.
故选：D.
4. 若
 
2 1
ln 2 1
x
f x x a x
 
为偶函数，则
a
（ ）．
A.
B. 0 C.
1
2
D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出
a
值，再检验即可.
【详解】因为
( )f x
为偶函数，则
1
(1) ( 1) (1 ) ln ( 1 ) ln 3
3
f f a a   ，
，解得
0a
，
当
0a
时，
 
2 1
ln 2 1
x
xx
f x
，
 
2 1 2 1 0x x  
，解得
1
2
x
或
1
2
x 
，
则其定义域为
1
2
x x
或
1
2
x
 
，关于原点对称.
   
     
1
2 1 2 1 2 1 2 1
ln ln ln ln
2 1 2 1 2 1 2 1
f xx x x x
xx x x f
x x x x
x
 
   
 
 
 
，
故此时
 
f x
为偶函数.
故选：B.
5. 已知椭圆
2
2
: 1
3
x
C y 
的左、右焦点分别为
1
F
，
2
F
，直线
y x m 
与C交于 A，B两点，若
1
F AB△
面积是
2
F AB△
面积的 2倍，则
m
（ ）．
A.
2
3
B.
2
3
C.
2
3
D.
2
3
【答案】C
【解析】
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用
0 
，求出
m
范围，再根据三角形面积比得到关于
m
的方
程，解出即可.
【详解】将直线
y x m 
与椭圆联立
2
21
3
y x m
xy
 
 
，消去
y
可得
2 2
4 6 3 3 0x mx m  
，
因为直线与椭圆相交于
,A B
点，则
 
22
36 04 4 3 3m m  
，解得
2 2m 
，
设
1
F
到
AB
的距离
1 2
,d F
到
AB
距离
2
d
，易知
 
1 2
2,0 , 2,0F F
，
则
1
| 2 |
2
m
d 
，
2
| 2 |
2
m
d
，
1
2
| 2 |
| 2 |
22
| 2 | | 2 |
2
F AB
F AB
m
Sm
Sm m
 
 
 
 
，解得
2
3
m 
或
3 2
（舍去），
故选：C.
6. 已知函数
 
e ln
x
f x a x 
在区间
 
1, 2
上单调递增，则 a的最小值为（ ）．
A.
2
e
B. e C.
1
e
D.
2
e
【答案】C
【解析】
【分析】根据
 
1
e 0
x
f x a x
 
在
 
1, 2
上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，
 
1
e 0
x
f x a x
 
在
 
1, 2
上恒成立，显然
0a
，所以
1
ex
xa
，
设
 
e , 1, 2
x
g x x x 
，所以
 
1 e 0
x
g x x 
，所以
 
g x
在
 
1, 2
上单调递增，
 
1 eg x g 
，故
1
ea
，即
1
1e
e
a
 
，即 a的最小值为
1
e
．
故选：C．
7. 已知
为锐角，
1 5
cos 4
，则
sin 2
（ ）．
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