2023年高考真题——数学（新高考II卷）

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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅱ卷）
数 学
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1. 在复平面内，
 
1 3i 3 i 
对应的点位于（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设集合
 
0,A a 
，
 
1, 2, 2 2B a a 
，若
A B
，则
a
（ ）．
A. 2 B. 1 C.
2
3
D.
1
3. 某学校为了解学生参加体育运动
的
情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高
中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，则不同的抽样结果共有
（ ）．
A
45 15
400 200
C C
种B.
20 40
400 200
C C
种
C.
30 30
400 200
C C
种D.
40 20
400 200
C C
种
4. 若
 
2 1
ln 2 1
x
f x x a x
 
为偶函数，则
a
（ ）．
A.
1
B. 0 C.
1
2
D. 1
5. 已知椭圆
2
2
: 1
3
x
C y 
的左、右焦点分别为
1
F
，
2
F
，直线
y x m 
与C交于 A，B两点，若
1
F AB△
面积是
2
F AB△
面积的 2倍，则
m
（ ）．
A.
2
3
B.
2
3
C.
2
3
D.
2
3
6. 已知函数
 
e ln
x
f x a x 
在区间
 
1, 2
上单调递增，则 a的最小值为（ ）．
A.
2
e
B. e C.
1
e
D.
2
e
7. 已知
为锐角，
1 5
cos 4
，则
sin 2
（ ）．
A.
3 5
8
B.
1 5
8
 
C.
3 5
4
D.
1 5
4
 
8. 记
n
S
为等比数列
 
n
a
的前 n项和，若
45S 
，
6 2
21S S
，则
8
S
（ ）．
A. 120 B. 85 C.
85
D.
120
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9. 已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，AB 为底面直径，
120APB  
，
2PA
，点 C在底面圆周上，
且二面角
P AC O 
为45°，则（ ）．
A. 该圆锥
的
体积为
π
B. 该圆锥的侧面积为
4 3π
C.
2 2AC
D.
PAC△
的面积为
3
10. 设O为坐标原点，直线
 
3 1y x 
过抛物线
 
2
: 2 0C y px p 
的焦点，且与 C交于 M，N两点，
l为C的准线，则（ ）．
A.
2p
B.
8
3
MN
C. 以MN 为直径的圆与 l相切 D.
OMN
为等腰三角形
11. 若函数
 
2
ln 0
b c
f x a x a
x x
 
既有极大值也有极小值，则（ ）．
A
0bc
B.
0ab
C.
28 0b ac 
D.
0ac
12. 在信道内传输 0，1信号，信号的传输相互独立．发送 0时，收到 1的概率为
(0 1)
 
 
，收到 0的
概率为
1
；发送 1时，收到 0的概率为
(0 1)
 
 
，收到 1的概率为
1
.考虑两种传输方案：单次
传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送 1次，三次传输 是指每个信号重复发送 3次．收到的信号
需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的
即为译码（例如，若依次收到 1，0，1，则译码为 1）.
A. 采用单次传输方案，若依次发送 1，0，1，则依次收到 l，0，1的概率为
2
(1 )(1 )
 
 
B. 采用三次传输方案，若发送 1，则依次收到 1，0，1的概率为
2
(1 )
 
C. 采用三次传输方案，若发送 1，则译码为 1的概率为
2 3
(1 ) (1 )
 
 
D. 当
0 0.5
 
时，若发送 0，则采用三次传输方案译码为 0的概率大于采用单次传输方案译码为 0的概
率
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13. 已知向量
a
，
b
满足
3a b 
，
2a b a b 
 
 
，则
b
______．
14. 底面边长为 4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高为 3的正四棱锥，所
得棱台的体积为______．
15. 已知直线
: 1 0l x my  
与
 
22
: 1 4C x y  
交于 A，B两点，写出满足“
ABC
面积为
8
5
”
的
m
的一个值______．
16. 已知函数
 
sinf x x
 
 
，如图 A，B是直线
1
2
y
与曲线
 
y f x
的两个交点，若
π
6
AB
，
则
 
πf
______．
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 记
ABC
的内角
, ,A B C
的对边分别为
, ,a b c
，已知
ABC
的面积为
3
，
D
为
BC
中点，且
1AD
．
（1）若
π
3
ADC 
，求
tan B
；
（2）若
2 2 8b c 
，求
,b c
．
18.
 
n
a
为等差数列，
6,
2 ,
n
n
n
a n
ba n
为奇数
为偶数
，记
n
S
，
n
T
分别为数列
 
n
a
，
 
n
b
的前 n项和，
432S
，
316T
．
（1）求
 
n
a
的通项公式；
（2）证明：当
5n
时，
n n
T S
．
19. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得
到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
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