2023年高考真题——理科数学（全国乙卷） 含答案

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2023 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题
1. 设
2 5
2 i
1 i i
z
 
，则
z
（ ）
A.
1 2i
B.
1 2i
C.
2 i
D.
2 i
2. 设集合
UR
，集合
 
1M x x 
，
，则
 
2x x  
（ ）
A.
 
UM Nð
B.
U
N Mð
C.
 
UM Nð
D.
U
M Nð
3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该零件的表面积为（ ）
A. 24 B. 26 C. 28 D. 30
4. 已知
e
( ) e 1
x
ax
x
f x
是偶函数，则
a
（ ）
A
.
2
B.
1
C. 1 D. 2
5. 设O为平面坐标系的坐标原点，在区域
 
 
2 2
, 1 4x y x y 
内随机取一点，记该点为 A，则直线 OA
的倾斜角不大于
π
4
的概率为（ ）
A.
1
8
B.
1
6
C.
1
4
D.
1
2
6. 已知函数
在区间
π 2π
,
6 3
 
 
 
单调递增，直线
π
6
x
和
2π
3
x
为函数
 
y f x
的图像的
两条对称轴，则
5π
12
f 
 
 
 
（ ）
A.
3
2
B.
1
2
C.
1
2
D.
3
2
7. 甲乙两位同学从 6种课外读物中各自选读 2种，则这两人选读
的
课外读物中恰有 1种相同的选法共有
（ ）
A. 30 种B. 60 种C. 120 种D. 240 种
8. 已知圆锥 PO 的底面半径为
3
，O为底面圆心，PA，PB 为圆锥的母线，
120AOB  
，若
PAB
的面
积等于
9 3
4
，则该圆锥的体积为（ ）
A.
B.
6
C.
3
D.
3 6
9. 已知
ABC
为等腰直角三角形，AB 为斜边，
ABD△
为等边三角形，若二面角
C AB D 
为
150
，则
直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为（ ）
A.
1
5
B.
2
5
C.
3
5
D.
2
5
10. 已知等差数列
 
n
a
的公差为
2
3
，集合
 
*
cos N
n
S a n 
，若
 
,S a b
，则
ab
（ ）
A
.
－1 B.
1
2
C. 0 D.
1
2
11. 设A，B为双曲线
2
21
9
y
x 
上两点，下列四个点中，可为线段 AB 中点的是（ ）
A
.
 
1,1
B.
()
1, 2-
C.
 
1,3
D.
 
1, 4 
12. 已知
O
的半径为 1，直线 PA 与
O
相切于点 A，直线 PB 与
O
交于 B，C两点，D为BC 的中点，
若
2PO
，则
PA PD
 
的最大值为（ ）
A.
1 2
2
+
B.
1 2 2
2
C.
1 2
D.
2 2
二、填空题
13. 已知点
 
1, 5A
在抛物线 C：
22y px
上，则 A到C的准线的距离为______.
14. 若x，y满足约束条件
3 1
2 9
3 7
x y
x y
x y
 
 
 
，则
2z x y 
的最大值为______.
15. 已知
 
n
a
为等比数列，
2 4 5 3 6
a a a a a
，
9 10 8a a  
，则
7
a
______.
16. 设
 
0,1a
，若函数
 
1x
x
f x a a  
在
 
0,
上单调递增，则 a的取值范围是______.
三、解答题
17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率
的
处理效应，进行 10 次配对试验，每次配对试验选用材质
相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的
伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为
i
x
，
i
y
（
1, 2, 10i 
），试验结果如下
试验序号 i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
i
x
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
i
y
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记
( 1, 2, ,10)
i i i
z x y i 
，记
1
z
，
2
z
，…，
10
z
的样本平均数为
z
，样本方差为
2
s
，
（1）求
z
，
2
s
；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果
2
210
s
z
，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否
则不认为有显著提高）.
18. 在
ABC
中，已知
120BAC  
，
2AB
，
1AC
.
（1）求
sin ABC
；
（2）若 D为BC 上一点，且
90BAD  
，求
ADC△
的面积.
19. 如图，在三棱锥
P ABC
中，
AB BC
，
2AB
，
2 2BC
，
6PB PC 
，BP，AP，BC 的
中点分别为 D，E，O，
5AD DO
，点 F在AC 上，
BF AO
.
（1）证明：
/ /EF
平面
ADO
；
（2）证明：平面
ADO
平面 BEF；
（3）求二面角
D AO C 
的正弦值.
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