2023年高考真题——理科数学（全国甲卷）含解析

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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学

一、选择题

1. 设集合

{ 3 1, }, { 3 2, }A x x k k Z B x x k k Z       ∣ ∣

，U为整数集，

( )A B 

Uð

（）

{ | 3 , }x x k k Z

{ 3 1, }x x k k Z  ∣

{ 3 2, }x x k k Z  ∣



【答案】A

【解析】

【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．

【详解】因为整数集

     

| 3 , | 3 1, | 3 2,x x k k x x k k x x k k        Z Z Z Z 

，

U Z

，所

以，

   

| 3 ,

UA B x x k k   Zð

．

故选：A．

2. 若复数

  

i 1 i 2, Ra a a   

，则

a

（）

A. -1 B. 0 · C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．

【详解】因为

  

 

2 2

i 1 i i i 2 1 i 2a a a a a a a         

，

所以

2 2

1 0





 



，解得：

1a

．

故选：C.

3. 执行下面的程序框遇，输出的

B

（）

A. 21 B. 34 C. 55 D. 89

【答案】B

【解析】

【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．

【详解】当

1n

时，判断框条件满足，第一次执行循环体，

1 2 3A  

，

3 2 5B  

，

1 1 2n  

；

当

2n

时，判断框条件满足，第二次执行循环体，

3 5 8A  

，

8 5 13B  

，

2 1 3n  

；

当

3n

时，判断框条件满足，第三次执行循环体，

8 13 21A  

，

21 13 34B  

，

3 1 4n  

；

当

4n

时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出

34B

．

故选：B.

4. 向量

| | | | 1,| | 2a b c   



 

，且

0a b c  



 

，则

cos ,a c b c    

  



（）



【答案】D

【解析】

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为

0a b c  



 

,所以

a b c+ = -

r r

即

2 2 2

2a b a b c   

 

  

,即

1 1 2 2a b   

,所以

0a b 



如图,设

, ,OA a OB b OC c  

  



 

由题知,

1, 2,OA OB OC OAB   

是

等腰直角三角形,

AB 边上的高

2 2

OD AD 

所以

2 3 2

22 2

CD CO OD    

1 3

tan , cos

310

ACD ACD

    

cos , cos cos 2 2cos 1a c b c ACB ACD ACD          



  

3 4

2 1 5

 

   

 

 

故选:D.

5. 已知正项等比数列

 

中，

11, n

a S

为

 

前n项和，

5 3

5 4S S 

，则

S

（）

A. 7 B. 9 C. 15 D. 30

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意列出关于

的方程,计算出

,即可求出

【详解】由题知

 

2 3 4 2

1 5 1 4q q q q q q       

即

3 4 2

4 4q q q q  

,即

3 2 4 4 0q q q   

,即

( 2)( 1)( 2) 0q q q   

由题知

0q

,所以

2q=

所以

41 2 4 8 15S    

故选:C.

6. 有60 人报名足球俱乐部，60 人报名乒乓球俱乐部，70 人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球

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