2022年新高考全国Ⅱ卷数学高考真题PDF PDF版含解析

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2022 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅱ卷）
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将
答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
 
{ 1,1, 2,4}, | 1 | 1A B x x 
，则
A B
（ ）
A．
{ 1,2}
B．
{1,2}
C．
{1,4}
D．
{ 1,4}
2．
(2 2i)(1 2i)  
（ ）
A．
2 4i 
B．
2 4i 
C．
6 2i
D．
6 2i
3．图 1是中国古代建筑中的举架结构，
是桁，相邻桁的水平距离称为
步，垂直距离称为举，图 2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
1 1 1 1
1 2 3
1 1 1 1
,0.5, ,
DD CC BB AA
k k k
OD DC CB BA
 
．已知
1 2 3
, ,k k k
成公差为 0.1 的等差数列，且直线
OA
的斜率为 0.725，则
3
k
（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
4．已知向量
(3, 4), (1, 0), t  a b c a b
，若
, ,  a c b c
，则实数
t
（ ）
A．
6
B．
5
C．5 D．6
5．甲、乙、丙、丁、戊 5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，
则不同的排列方式共有（ ）
A．12 种B．24 种C．36 种D．48 种
6．若
sin( ) cos( ) 2 2 cos sin
4
   
 
 
 
 
，则（ ）
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A．
tan( ) 1
 
 
B．
tan( ) 1
 
 
C．
tan( ) 1
 
 
D．
tan( ) 1
 
 
7．已知正三棱台的高为 1，上下底面的边长分别为
3 3
和
4 3
，其顶点都在同一球面上，
则该球的表面积为（ ）
A．
100π
B．
128π
C．
144π
D．
192π
8．若函数
( )f x
的定义域为 R， 且
( ) ( ) ( ) ( ), (1) 1f x y f x y f x f y f 
， 则
22
1
( )
k
f k
（ ）
A．
3
B．
2
C．0 D．1
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0
分。
9．已知函数
( ) sin(2 )(0 )f x x
 
 
的图象关于点
2π ,0
3
 
 
 
对称，则（ ）
A．
( )f x
在
5π
0, 12
 
 
 
单调递减 B．
( )f x
在
π 11π
,
12 12
 
 
 
有两个极值
点
C．直线
7π
6
x
是曲线
( )y f x
的一条对称轴 D．直线
3
2
y x 
是曲线
( )y f x
的切线
10．已知 O为坐标原点，过抛物线
2
: 2 ( 0)C y px p 
的焦点 F的直线与 C交于 A，B两
点，其中 A在第一象限，点
( ,0)M p
，若
| | | |AF AM
，则（ ）
A．直线
AB
的斜率为
2 6
B．
| | | |OB OF
C．
| | 4 | |AB OF
D．
180OAM OBM  
11．如图，四边形
ABCD
为正方形，
ED
平面
ABCD
，
, 2FB ED AB ED FB ∥
，
记三棱锥
E ACD
，
F ABC
，
F ACE
的体积分别为
1 2 3
, ,V V V
，则（ ）
A．
3 2
2V V
B．
3 1
V V
C．
3 1 2
V V V 
D．
3 1
2 3V V
12．若实数 x，y满足
2 2 1x y xy 
，则（ ）
A．
1x y 
B．
2x y  
C．
2 2 2x y 
D．
2 2 1x y 
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
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13 ．随机变量 X服 从 正 态 分 布
 
2
2,N
， 若
(2 2.5) 0.36P X 
， 则
( 2.5)P X  
____________．
14．曲线
ln | |y x
过坐标原点的两条切线方程为____________，____________．
15．设点
( 2,3), (0, )A B a
，若直线
AB
关于
y a
对称的直线与圆
2 2
( 3) ( 2) 1x y  
有
公共点，则 a的取值范围为____________．
16．已知直线 l与椭圆
2 2
1
6 3
x y
 
在第一象限交于 A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于
M，N两点，且
| | | |,| | 2 3MA NB MN 
，则 l的方程为___________．
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
17．（10 分）已知
 
n
a
为等差数列，
 
n
b
为公比为 2的等比数列，且
2 2 3 3 4 4
a b a b b a   
．
（1）证明：
1 1
a b
；
（2）求集合
 
1,1 500
k m
k b a a m  
中元素个数．
18．（12 分）记
ABC△
的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，以 a，b，c为边长的三个
正三角形的面积分别为
1 2 3
, ,S S S
，且
1 2 3
3 1
,sin
2 3
S S S B 
．
（1）求
ABC△
的面积；
（2）若
2
sin sin 3
A C
，求 b．
19．（12 分）在某地区进行某种疾病调查，随机调查了 100 位这种疾病患者的年龄，得到如
下样本数据频率分布直方图．
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间
[20,70)
的概率；
（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为
0.1%
，该地区年龄位于区间
[40,50)
的人口数占
该地区总人口数的
16%
，从该地区选出一人，若此人的年龄位于区间
[40,50)
，求此人患
这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的
概率，精确到 0.0001）．
20．（12 分）如图，
PO
是三棱锥
P ABC
的高，
PA PB
，
AB AC
，E为
PB
的中
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