2022年新高考北京数学高考真题PDF PDF版含解析

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2022 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共 5页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在
试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项。
1．已知全集
{ 3 3}U x x  
，集合
{ 2 1}A x x  
，则
UAð
（ ）
A．
( 2,1]
B．
( 3, 2) [1,3) 
C．
[ 2,1)
D．
( 3, 2] (1,3) 
2．若复数 z满足
i 3 4iz 
，则
z
（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
3．若直线
2 1 0x y  
是圆
的一条对称轴，则
a
（ ）
A．
1
2
B．
1
2
C．1 D．
1
4．已知函数
1
( ) 1 2x
f x
，则对任意实数 x，有（ ）
A．
( ) ( ) 0f x f x 
B．
( ) ( ) 0f x f x 
C．
( ) ( ) 1f x f x 
D．
1
( ) ( ) 3
f x f x 
5．已知函数
2 2
( ) cos sinf x x x 
，则（ ）
A．
( )f x
在
π π
,
2 6
 
 
 
 
上单调递减 B．
( )f x
在
π π
,
4 12
 
 
 
上单调递增
C．
( )f x
在
π
0, 3
 
 
 
上单调递减 D．
( )f x
在
π 7π
,
4 12
 
 
 
上单调递增
6．设
 
n
a
是公差不为 0的无穷等差数列，则“
 
n
a
为递增数列”是“存在正整数
0
N
，当
0
n N
时，
0
n
a
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也
不必要条件
7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，
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为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T和
lg P
的关
系，其中 T表示温度，单位是 K；P表示压强，单位是
bar
．下列结论中正确的是（ ）
A．当
220T
，
1026P
时，二氧化碳处于液态
B．当
270T
，
128P
时，二氧化碳处于气态
C．当
300T
，
9987P
时，二氧化碳处于超临界状态
D．当
360T
，
729P
时，二氧化碳处于超临界状态
8．若
4 4 3 2
4 3 2 1 0
(2 1)x a x a x a x a x a 
，则
0 2 4
a a a 
（ ）
A．40 B．41 C．
40
D．
41
9．已知正三棱锥
P ABC
的六条棱长均为 6，S是
ABC△
及其内部的点构成的集合．设集
合
{ 5}T Q S PQ 
，则 T表示的区域的面积为（ ）
A．
3π
4
B．
π
C．
2π
D．
3π
10．在
ABC△
中，
3, 4, 90AC BC C  
．P为
ABC△
所在平面内的动点，且
1PC
，
则
PA PB
 
的取值范围是（ ）
A．
[ 5,3]
B．
[ 3,5]
C．
[ 6,4]
D．
[ 4,6]
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25 分。
11．函数
1
( ) 1f x x
x
 
的定义域是_________．
12．已知双曲线
2
21
x
ym
 
的渐近线方程为
3
3
y x 
，则
m
__________．
13 ． 若 函 数
( ) sin 3 cosf x A x x 
的 一 个 零 点 为
π
3
， 则
A
________ ；
π
12
f
 
 
________．
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14．设函数
2
1, ,
( ) ( 2) , .
ax x a
f x x x a
 
 
若
( )f x
存在最小值，则 a的一个取值为________；
a的最大值为___________．
15．已知数列
 
n
a
的各项均为正数，其前 n项和
n
S
满足
9( 1, 2, )
n n
a S n 
．给出下列
四个结论：
①
 
n
a
的第 2项小于 3； ②
 
n
a
为等比数列；
③
 
n
a
为递减数列； ④
 
n
a
中存在小于
1
100
的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题共 6小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题 13 分）
在
ABC△
中，
sin 2 3 sinC C
．
（I）求
C
；
（II）若
6b
，且
ABC△
的面积为
6 3
，求
ABC△
的周长．
17．（本小题 14 分）
如图，在三棱柱
1 1 1
ABC A B C
中，侧面
1 1
BCC B
为正方形，平面
1 1
BCC B
平面
1 1
ABB A
，
2AB BC 
，M，N分别为
1 1
A B
，AC 的中点．
（I）求证：
MN ∥
平面
1 1
BCC B
；
（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 AB 与平面 BMN 所成角
的正弦值．
条件①：
AB MN
；
条件②：
BM MN
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题 13 分）
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
9 50m．
以上（含
9 50m．
）
的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛
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