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2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

数学（理科）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集

{1,2,3, 4,5}U

，集合 M满足

{1,3}

UMð

，则（）

A．

2M

B．

3M

C．

4M

D．

5M

2．已知

1 2iz 

，且

0z az b  

，其中 a，b为实数，则（）

A．

1, 2a b  

B．

1, 2a b  

C．

1, 2a b 

D．

1, 2a b   

3．已知向量

,a b

满足

| | 1,| | 3,| 2 | 3   a b a b

，则

 a b

（）

A．

2

B．

1

C．1 D．2

4．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的

人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列

 

n

b

：

1

1b



 

，

2

1

2

1

11

b



 



，

3

1

2

3

1

11

1

b





 



，…，依此类推，其中

( 1, 2, )

kk





 N

．则

（）

A．

1 5

b b

B．

3 8

b b

C．

6 2

b b

D．

4 7

b b

5．设 F为抛物线

2

: 4C y x

的焦点，点 A在C上，点

(3,0)B

，若

| | | |AF BF

，则

| |AB 

（）

A．2 B．

2 2

C．3 D．

3 2

6．执行下边的程序框图，输出的

n

（）

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A．3 B．4 C．5 D．6

7．在正方体

1 1 1 1

ABCD A B C D

中，E，F分别为

,AB BC

的中点，则（）

A．平面

1

B EF 

平面

1

BDD

B．平面

1

B EF 

平面

1

A BD

C．平面

1

B EF∥

平面

1

A AC

D．平面

1

B EF∥

平面

1 1

A C D

8．已知等比数列

 

n

a

的前 3项和为 168，

2 5 42a a 

，则

6

a

（）

A．14 B．12 C．6 D．3

9．已知球 O的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O的球面上，则当该

四棱锥的体积最大时，其高为（）

A．

1

3

B．

1

2

C．

3

D．

2

10．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、

乙、丙比赛获胜的概率分别为

1 2 3

, ,p p p

，且

3 2 1 0p p p  

．记该棋手连胜两盘的概率为

p，则（）

A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

11．双曲线 C的两个焦点为

1 2

,F F

，以 C的实轴为直径的圆记为 D，过

1

F

作D的切线与 C

交于 M，N两点，且

1 2

3

cos 5

F NF 

，则 C的离心率为（）

A．

5

2

B．

3

2

C．

13

2

D．

17

2

12．已知函数

( ), ( )f x g x

的定义域均为 R，且

( ) (2 ) 5, ( ) ( 4) 7f x g x g x f x     

．若

( )y g x

的图像关于直线

2x

对称，

(2) 4g

，则

22

1

( )

k

f k





（）

A．

21

B．

22

C．

23

D．

24

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二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．

13．从甲、乙等 5名同学中随机选 3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

____________．

14．过四点

(0,0),(4,0),( 1,1),(4,2)

中的三点的一个圆的方程为____________．

15．记函数

( ) cos( )( 0, 0 )f x x

   

     

的最小正周期为 T，若

3

( ) 2

f T 

，

9

x



为

( )f x

的零点，则



的最小值为____________．

16．己知

1

x x

和

2

x x

分别是函数

2

( ) 2 e

x

f x a x 

（

0a

且

1a

）的极小值点和极大

值点．若

1 2

x x

，则 a的取值范围是____________．

三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求

作答．

（一）必考题：共 60 分．

17．（12 分）

记

ABC△

的内角

, ,A B C

的对边分别为

, ,a b c

，已知

sin sin( ) sin sin( )C A B B C A  

．

（1）证明：

2 2 2

2a b c 

；

（2）若

25

5,cos 31

a A 

，求

ABC△

的周长．

18．（2 分）

如图，四面体

ABCD

中，

, ,AD CD AD CD ADB BDC    

，E为

AC

的中点．

（1）证明：平面

BED 

平面

ACD

；

（2）设

2, 60AB BD ACB    

，点 F在

BD

上，当

AFC△

的面积最小时，求

CF

与

平面

ABD

所成的角的正弦值．

19．（12 分）

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，

随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：

2

m

）和材积量（单位：

3

m

），

得到如下数据：

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