2022年高考真题——理科数学（全国乙卷）含答案

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2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）
数学（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集
{1,2,3,4,5}U
，集合 M满足
{1,3}
U
Mð
，则（）
A．
2M
B．
3M
C．
4M
D．
5M
2．已知
1 2iz 
，且
0z az b  
，其中 a，b为实数，则（）
A．
1, 2a b  
B．
C．
1, 2a b 
D．
1, 2a b   
3．已知向量
,a b
满足
| | 1,| | 3,| 2 | 3  a b a b
，则
 a b
（）
A．
2
B．
1
C．1 D．2
4．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的
人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列
 
n
b
：
1
1
1
1b
 
，
2
1
2
1
11
b
 
，
3
1
2
3
1
11
1
b
 
，…，依此类推，其中
( 1,2, )
k
k
 N
．则
（）
A．
1 5
b b
B．
3 8
b b
C．
6 2
b b
D．
4 7
b b
5． 设 F为 抛 物 线
2
: 4C y x
的 焦 点 ， 点 A在C上 ， 点
(3,0)B
，若
| | | |AF BF
，则
| |AB
（）
A．2 B．
2 2
C．3 D．
3 2
6．执行下边的程序框图，输出的
n
（）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．在正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，E，F分别为
,AB BC
的中点，则（）
A．平面
1
B EF
平面
1
BDD
B．平面
1
B EF
平面
1
A BD
C．平面
1
B EF∥
平面
1
A AC
D．平面
1
B EF∥
平面
1 1
A C D
8．已知等比数列
 
n
a
的前 3项和为 168，
2 5 42a a 
，则
6
a
（）
A．14 B．12 C．6 D．3
9．已知球 O的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O的球面上，则当该
四棱锥的体积最大时，其高为（）
A．
1
3
B．
1
2
C．
3
3
D．
2
2
10．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲 、
乙、丙比赛获胜的概率分别为
1 2 3
, ,p p p
，且
3 2 1
0p p p  
．记该棋手连胜两盘的概率
为p，则（）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
11．双曲线 C的两个焦点为
1 2
,F F
，以 C的实轴为直径的圆记为 D，过
1
F
作D的切线与 C
交于 M，N两点，且
1 2
3
cos 5
F NF 
，则 C的离心率为（）
A．
5
2
B．
3
2
C．
13
2
D．
17
2
12．已知函数
( ), ( )f x g x
的定义域均为 R，且
( ) (2 ) 5, ( ) ( 4) 7f x g x g x f x  
．
若
( )y g x
的图像关于直线
2x
对称，
(2) 4g
，则
22
1
( )
k
f k
（）
A．
21
B．
22
C．
23
D．
24
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．从甲、乙等 5名同学中随机选 3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_____
_______．
14．过四点
(0,0),(4,0),( 1,1),(4, 2)
中的三点的一个圆的方程为____________．
15 ．记函数
( ) cos( )( 0,0 )f x x
 
 
的最小正周期为 T，若
3
( ) 2
f T
，
9
x
为
( )f x
的零点，则
的最小值为____________．
16．己知
1
x x
和
2
x x
分别是函数
2
( ) 2 e
x
f x a x 
（
0a
且
1a
）的极小值点和极
大值点．若
1 2
x x
，则 a的取值范围是____________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求
作答．
（一）必考题：共 60分．
17．（12 分）
记
ABC△
的内角
, ,A B C
的对边分别为
, ,a b c
，已知
sin sin( ) sin sin( )C A B B C A 
．
（1）证明：
2 2 2
2a b c 
；
（2）若
25
5,cos 31
a A 
，求
ABC△
的周长．
18．（2分）
如图，四面体
ABCD
中，
, ,AD CD AD CD ADB BDC  
，E为
AC
的中点．
（1）证明：平面
BED
平面
ACD
；
（2）设
2, 60AB BD ACB  
，点 F在
BD
上，当
AFC△
的面积最小时，求
CF
与
平面
ABD
所成的角的正弦值．
19．（12 分）
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积
量，随机选取了 10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：
2
m
）和材积量（单
位：
3
m
），得到如下数据：
样本号 i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积
i
x
0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
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