2021年全国统一高考数学试卷（新高考ⅱ）含答案

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2021 年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）

一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1．（5分）复数在复平面内对应点所在的象限为（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（5分）若全集 U＝{1，2，3，4，5，6}，集合 A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则

A∩∁UB＝（　　）

A．{3} B．{1，6} C．{5，6} D．{1，3}

3．（5分）若抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点到直线 y＝x+1 的距离为，则 p＝（　　）

A．1 B．2 C．2 D．4

4．（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，

地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36000km（轨道高度

是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为 O，半径 r为6400km 的球，

其上点 A的纬度是指 OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地

球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 α，该卫星信号覆盖地球表面的表面积 S＝

2πr2（1﹣cosα）（单位：km2），则 S占地球表面积的百分比约为（　　）

A．26% B．34% C．42% D．50%

5．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为（　　）

A．20+12 B．28 C．D．

6．（5分）某物理量的测量结果服从正态分布 N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（

）

A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大

B．该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5

C．该物理量在一次测量中小于为 9.99 与大于 10.01 的概率相等

D．该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等

7．（5分）已知 a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是（　　）

A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．a＜b＜c

8．（5分）已知函数 f（x）的定义域为 R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（

）

A．f（﹣ ）＝0 B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0

二、多项选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有

多项是符合题目要求的。全选对得 5分，选对但不全得 2分，有错误答案得 0分）

（多选）9．（5分）下列统计量中，能度量样本 x1，x2，…，xn的离散程度的有（　　）

A．样本 x1，x2，…，xn的标准差

B．样本 x1，x2，…，xn的中位数

C．样本 x1，x2，…，xn的极差

D．样本 x1，x2，…，xn的平均数

（多选）10．（5分）如图，下列正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N

为正方体的顶点，则满足 MN⊥OP 的是（　　）

A．B．

C．D．

（多选）11．（5分）已知直线 l：ax+by﹣r2＝0与圆 C：x2+y2＝r2，点 A（a，b），则下列

说法正确的是（　　）

A．若点 A在圆 C上，则直线 l与圆 C相切

B．若点 A在圆 C内，则直线 l与圆 C相离

C．若点 A在圆 C外，则直线 l与圆 C相离

D．若点 A在直线 l上，则直线 l与圆 C相切

（多选）12．（5分）设正整数 n＝a0•20+a1•21+…+ak﹣1•2k﹣1+ak•2k，其中 ai∈{0，1}，记

ω（n）＝a0+a1+…+ak，则（　　）

A．ω（2n）＝ω（n）B．ω（2n+3）＝ω（n）+1

C．ω（8n+5）＝ω（4n+3）D．ω（2n﹣1）＝n

三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。把答案填在答题卡上）

13．（5分）已知双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的离心率 e＝2，则该双曲线的渐近线

方程为　　．

14．（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f（x）：　　．

①f（x1x2）＝f（x1）f（x2）；②当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；③f′（x）是奇

函数．

15．（5分）已知向量 + + ＝，| |＝1，| |＝| |＝2，则 • +•+• ＝　　．

16 ．（ 5分）已知函数 f（x）＝ |ex﹣1| ，x1＜0，x2＞0，函数 f（x）的图象在点

A（x1，f（x1））和点 B（x2，f（x2））的两条切线互相垂直，且分别交 y轴于 M，N两

点，则的取值范围是　　．

四、解答题（本题共 6小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答

案填在答题卡上）

17．（10 分）记 Sn是公差不为 0的等差数列{an}的前 n项和，若 a3＝S5，a2a4＝S4．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式 an；

（Ⅱ）求使 Sn＞an成立的 n的最小值．

18．（12 分）在△ABC 中，角 A，B，C所对的边长为 a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．

（Ⅰ）若 2sinC＝3sinA，求△ABC 的面积；

（Ⅱ）是否存在正整数 a，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出 a的值；若不存在，

说明理由．

19．（12 分）在四棱锥Q﹣ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，若 AD＝2，QD＝QA＝

，QC＝3．

（Ⅰ）求证：平面 QAD⊥平面 ABCD；

（Ⅱ）求二面角 B﹣QD﹣A的平面角的余弦值．

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