2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）含解析

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2021 年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合 M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|≤x≤5}，则 M∩N＝（　　）
A．{x|0＜x≤} B．{x|≤x＜4} C．{x|4≤x＜5} D．{x|0＜x≤5}
2．（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭
年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（　　）
A．该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%
B．该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间
3．（5分）已知（1﹣i）2z＝3+2i，则 z＝（　　）
A．﹣1﹣iB．﹣1+ iC．﹣ +iD．﹣ ﹣i
4．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分
记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L和小数记录法的数据 V满足 L
＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约
为（　　）（ ≈1.259）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
5．（5分）已知 F1，F2是双曲线 C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝
3|PF2|，则 C的离心率为（　　）
A．B．C．D．
6．（5分）在一个正方体中，过顶点 A的三条棱的中点分别为 E，F，G．该正方体截去三
棱锥 A﹣EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（
　）
A．B．C．D．
7．（5分）等比数列{an}的公比为 q，前 n项和为 Sn．设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，
则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．（5分）2020 年12 月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单
位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示
意图，现有 A，B，C三点，且 A，B，C在同一水平面上的投影 A'，B'，C'满足
∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°．由 C点测得 B点的仰角为 15°，BB'与CC'的差为 100；由
B点测得 A点的仰角为 45°，则 A，C两点到水平面 A'B'C'的高度差 AA'﹣CC'约为（
　）（ ≈1.732）
A．346 B．373 C．446 D．473
9．（5分）若 α∈（0， ），tan2α＝ ，则 tanα＝（　　）
A．B．C．D．
10．（5分）将 4个1和2个0随机排成一行，则 2个0不相邻的概率为（　　）
A．B．C．D．
11．（5分）已知 A，B，C是半径为 1的球 O的球面上的三个点，且 AC⊥BC，AC＝BC＝
1，则三棱锥 O﹣ABC 的体积为（　　）
A．B．C．D．
12．（5分）设函数 f（x）的定义域为 R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当
x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．若 f（0）+f（3）＝6，则 f（ ）＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C．D．
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．（5分）曲线 y＝ 在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为　 　 ．
14．（5分）已知向量 ＝（3，1）， ＝（1，0）， ＝ +k．若 ⊥ ，则 k＝　 　 ．
15．（5分）已知 F1，F2为椭圆 C：+＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点
对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形 PF1QF2的面积为 　 　 ．
16．（5分）已知函数 f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则满足条件（f（x）
﹣f（﹣ ））（f（x）﹣f（ ））＞0的最小正整数 x为 　 　 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考
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