2021年清华大学强基计划数学试题（完整版） PDF版含解析（可编辑）

3.0 envi 2025-01-08 4 4 2.87MB 11 页 3知币

侵权投诉

2021 年清华大学强基计划笔试数学试题回忆版

本试卷共 35 题，每一道题均为不定项，下为回忆版.

1. 甲乙丙丁四人共同参加 4项体育比赛，每项比赛第一名到第四名的分数依次为 4、3、2、

1分.比赛结束甲获得 14 分第一名，乙获得 13 分第二名，则 ( ).

A. 第三名不超过 9分

B. 第三名可能获得其中一场比赛的第一名

C. 最后一名不超过 6分

D. 第四名可能一项比赛拿到 3分

答案：ACD

解：

(1) 所有分数之和为 4×(4 + 3 + 2 + 2) = 40，甲乙总分之和为 14 + 13 = 27，所以第

三名和第四名总分数为 13 分，第四名的分数不超过 6分，C正确，第四名至少得

4分，A正确.

(2) 所有项目的第一名和第二名分数之和为 4×(4 + 3) = 28 分，只比甲乙两人总分数

高一分，说明只有一种情况，甲乙包揽所有项目第一名，总共拿到 3个第二名和

1个第三名.B 错误.

(3) D 正确的一种情形：

I II III IIII

甲4 4 4 2

乙3 3 3 4

丙2 2 2 1

丁1 1 1 3

2. 定义 x∗y=x+y

1 + xy ，则 (···((2 ∗3) ∗4) ···)∗21 = ( ).

答案：116

115

解：令x=λ−1

λ+ 1，y=µ−1

µ+ 1，则 x∗y=

λ−1

λ+1 +µ−1

µ+1

1 + λ−1

λ+1 ·µ−1

µ+1

=λµ −1

λµ + 1.

其中 λ=−x+ 1

x−1，µ=−y+ 1

y−1.

容易得到，若设 z=ν−1

ν+ 1，即 ν=−z+ 1

z−1，则 (x∗y)∗z=λµν −1

λµν + 1，

即∗运算满足：

(1) x∗y=y∗x

(2) (x∗y)∗z=x∗(y∗z)

进而可得 (···((2 ∗3) ∗4) ···)∗21 = −3

1−4

2···−22

20 −1

−3

1−4

2···−22

20 + 1 =−21 ×11 −1

−21 ×11 + 1 =116

115

补充说明：看到 x+y

1 + xy ，联想到 tanh x=e2x−1

e2x+ 1，于是做一个 x=λ−1

λ+ 1 的换元准没

错.

3. 已知 ω=cos π

5+i sin π

5，则 ( ).

A. x4+x3+x2+x+ 1 = (x−ω)(x−ω3)(x−ω7)(x−ω9)

B. x4−x3+x2−x+ 1 = (x−ω)(x−ω3)(x−ω7)(x−ω9)

C. x4−x3−x2+x+ 1 = (x−ω)(x−ω3)(x−ω7)(x−ω9)

D. x4+x3+x2−x−1 = (x−ω)(x−ω3)(x−ω7)(x−ω9)

答案：B.

解：容易得到 1、ω、ω2、. . .、ω9为x10 −1 = 0 的根，则

x10 −1 = (x−1)(x−ω)(x−ω2)(x−ω3)···(x−ω9).

另外 1、ω2、ω4、ω6、ω8为x5−1 = 0 的根，则

x5−1 = (x−1)(x−ω2)(x−ω4)(x−ω6)(x−ω8).

结合 ω5=−1，两个式子做比可得

x5+ 1 = (x−ω)(x−ω3)(x+ 1)(x−ω7)(x−ω9).

即

(x−ω)(x−ω3)(x−ω7)(x−ω9) = x5+ 1

x+ 1 =x4−x3+x2−x+ 1.

补充说明：第一次见此题是 2000 年全国高中数学联赛一试第 6题.

4. 恰有一个实数 x使得 x3−ax −1 = 0 成立，则实数 a的取值范围为 ( ).

A. −∞,3

√2B. −∞,33

√2

C. 3√2

2!D. −∞,3√2

答案：B.

解：易得 x̸= 0，问题等价于方程 a=x2−1

x只有一个实数解.

令f(x) = x2−1

x，f′(x) = 2x+1

x2=2x3+ 1

x2.

令2x3

0+ 1 = 0，即 x0=−1

√2，可知

x(−∞, x0)x0(x0,0) (0,+∞)

f′(x)−0 + +

f(x)↘极小值 ↗ ↗

其图象如图所示.

故a < f(x0) = 3

√2.

补充说明：高考导数基本要求.

5. 已知 [x]为高斯函数，hx

2i+hx

3i+hx

5i=x解的组数为 ( ).

A. 30 B. 40 C. 50 D. 60

答案：A

解：因为 hx

2i，hx

3i，hx

5i∈Z，则 x∈Z.

因此 hx

2i+hx

3i+hx

5i=x=x

2+x

3+x

5−x

30.

即

2}+{x

3}+{x

5}=x

30.

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

2021年清华大学强基计划数学试题（完整版） PDF版含解析（可编辑）.pdf

共11页,预览4页

还剩页未读，继续阅读

2021年清华大学强基计划数学试题（完整版） PDF版含解析（可编辑）

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: