2021年北京大学强基计划数学试题（学生回忆完整版） PDF版含答案（可编辑）

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2021 年北京大学强基计划笔试数学试题回忆版

本试卷共 20 题，每一道题均为单选题，下为回忆版，部分题目条件可能与实际考试有

所出入，仅供参考.

1. 已知 O为△ABC 的外心，AB、AC 与△OBC 的外接圆交于 D、E.若DE =OA，则

∠OBC =.

答案：π

解：

图1: 第1题图

如图 1所示，联结 BE.

因为 DE =OC，在 △OBC 外接圆中，∠DBE =∠OBC，进而可得 ∠DBO =∠EBC.

另外在 ⊙O中，∠AOB =2∠ACB.

以及 ∠AOB +2∠OBD = 180◦.

即2∠BCE +2∠EBC = 180◦.

即△EBC 为直角三角形，且 BC 为直角边，BC 为第二个圆的直径.

所以 ∠OBC =π

4."

2. 方程 y3+f4=d5的正整数解 (y,f,d)的组数为 .

答案：无穷

解：考虑到 2n+ 2n=2

n+1，取 n≡0(mod 3)，n≡0(mod 4)，n≡−1(mod 5) 即可.

例如取 n= 60k+ 24，k∈N.

此时 !220k+8"3+!215k+6"4=!212k+5"5."

3. 若实数 a, b, c, d 满足 ab +bc +cd +da =1，则 a2+2b2+3c2+4d2的最小值为 .

答案：2

解：因式分解可得 (a+c)(b+d)=1.

根据柯西不等式可得 (a2+3c2)#1+1

3$#(a+c)2，即 a2+ 3c2#3

4(a+c)2.

同样地，(2b2+ 4d2)#1

2+1

4$#(b+d)2，即 2b2+ 4d2#4

3(b+d)2.

因此 a2+ 2b2+3c2+4d2#3

4(a+c)2+4

3(b+d)2#2(a+c)(b+d)=2.

等号成立条件为 a:b:c:d=3:2:1:1，其中 c=d=±√3

6."

4. 已知 Y=

2021

i=0 &2i

7'，则 Y的个位数字是 .

答案：5

解：由23≡1 (mod 7)，可知 2i模7是三循环的，

23k≡1(mod 7)，23k+1 ≡2(mod 7)，23k+2 ≡4(mod 7)，其中 k∈N.

2021

i=0 &2i

7'=

2021

i=0

7−2022

3#1

7+2

7+4

7$=22022 −1

7−674

=(23−1)(1 +2

3+2

6+···+2

2019)

7−674 =1+2

3+2

6+···+2

2019 −674.

结合 84k≡6(mod 10)，84k+1 ≡8(mod 10)，84k+2 ≡4(mod 10)，84k+3 ≡2(mod 10)

（其中 k∈N），可知

Y≡1 + 168(8 + 4 + 2 + 6) + 8 −674 ≡5(mod 10)."

5. 若平面上有 100 条二次曲线，则这些曲线可以把平面分成若干个连通区域，则连通区

域数量最大值为 .

答案：20101

解：从第 k个二次曲线开始计算，新增加一个二次曲线变成 k+1条的情形，这条二次

曲线与原来每一个二次曲线最多有 4个交点，相当于最多新增加 4k个交点.

(1) 如果是椭圆或者圆，被分成 4k段圆弧，相当于增加连通区域最多 4k个；

(2) 如果是抛物线，被分成 4k+1段曲线，相当于最多增加连通区域 4k+1个；

(3) 如果是双曲线，被分成 4k+2段曲线，相当于最多增加连通区域 4k+2个；

(4) 如果是两条直线，明显相交直线更优，相当于依次加入两条直线，最多增加连通区

域4k+3个.

如果包括二次曲线的退化情形，例如两条相交直线，则从第一个曲线开始，每次均引

入相交直线，答案为 4 + (4 ×1 + 3) + (4 ×2 + 3) + ···+ (4 ×99 + 3) = 20101.选取

200 条直线两两相交，但交点不重合的情形均可."

【注】如果二次曲线只计算圆，椭圆，双曲线，抛物线，则从第一个曲线开始，每次

均引入双曲线，答案为 3 + (4 ×1 + 2) + (4 ×2 + 2) + ···+ (4 ×99 + 2) = 20001.选

取200 条离心率足够大 (几乎一组平行直线)，绕着其中心旋转 180◦过程中，选取任意

200 个位置即可.

6. 已知实数 x0∈[0,1).数列 {xk}满足：若 xn−1<1

2，则 xn=2xn−1,若xn−1≥1

2，则

xn=2xn−1−1(n=1,2,···).现知 x0=x2021，则可能的 x0的个数为 .

答案：22021 −1

解：首先我们证明 xn∈[0,1) 恒成立.

若xi∈&0,1

2$，则 xi+1 = 2xi∈[0,1)；

若xi∈&1

2,1$，则 xi+1 = 2xi−1∈[0,1).

由数学归纳法知，xn∈[0,1) 对∀n∈N∗成立，那么有

xn={xn}={2nx0},其中{α}表示α的小数部分.

∴x2021 ={22021x0}.

∴{22021x0}=x0，即 22021x0−x0为整数.

∴x0=k

22021 −1(k= 0,1,2,···,22021 −2).

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