2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）含解析

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2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合 A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则 A∩B中
元素的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（5分）复数 的虚部是（　　）
A．﹣ B．﹣ C．D．
3．（5分）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 p1，p2，p3，p4，且 pi＝
1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（　　）
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
4．（5分）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布
数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I（t）（t的单位：天）的 Logistic 模型：
I（t）＝ ，其中 K为最大确诊病例数．当 I（t*）＝0.95K时，标志着
已初步遏制疫情，则 t*约为（　　）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
5．（5分）设 O为坐标原点，直线 x＝2与抛物线 C：y2＝2px（p＞0）交于 D，E两点，若
OD⊥OE，则 C的焦点坐标为（　　）
A．（ ，0）B．（ ，0）C．（1，0）D．（2，0）
6． （ 5分）已知向量 ， 满足| | ＝5，| | ＝6， • ＝ ﹣ 6， 则 cos ＜，+＞ ＝
（　　）
A．﹣ B．﹣ C．D．
7．（5分）在△ABC 中，cosC＝ ，AC＝4，BC＝3，则 cosB＝（　　）
A．B．C．D．
8．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（　　）
A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
9．（5分）已知 2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则 tanθ＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
10．（5分）若直线 l与曲线 y＝ 和圆 x2+y2＝ 都相切，则 l的方程为（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝2x+ C．y＝x+1 D．y＝x+
11．（5分）设双曲线 C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心
率为 ．P是C上一点，且 F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为 4，则 a＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．（5分）已知 55＜84，134＜85．设 a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（　　）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．（5分）若 x，y满足约束条件 则 z＝3x+2y的最大值为　 　 ．
14．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是 　 　 （用数字作答）．
15．（5分）已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为
．
16．（5分）关于函数 f（x）＝sinx+有如下四个命题：
①f（x）的图象关于 y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线 x＝ 对称．
④f（x）的最小值为 2．
其中所有真命题的序号是　 　 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：
共60 分。
17．（12 分）设数列{an}满足 a1＝3，an+1＝3an﹣4n．
（1）计算 a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前 n项和 Sn．
18．（12 分）某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公
园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
[0，200] （200，400] （400，600]
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 678
4（中度污染） 720
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点
值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为 1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等
级为 3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 2×2 列联表，并
根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气
质量有关？
人次≤400 人次＞400
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