2020年清华大学强基计划数学试题解答（完整版，35道题） PDF版含解析（可编辑）

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˜uŒÆ2020 crÄOyêÆÁK)Û
Penny CØ
1. ®•¢ê x, y ÷vx2+y2≤1,Kx2+xy −y2•ŒŠ•( )
A. 1 B. √5
2C. √10
3D. √2
‰Y. B.
{Û1. dAM −GM ت,
x2−y2+ (√5 + 2) ·x
√5+2·y≤x2−y2+√5+2
2·x2
(√5 + 2)2+y2=√5 (x2+y2)
2≤√5
2.
þªx=1
√10−4√5, y =1
√10+4√5
žÒ.
=ª•ŒŠ•√5
2.
{Û2. x=rcos θ, y =rsin θ, Ù¥|r| ≤ 1, θ ∈,K
x2+xy −y2=r2cos 2θ+r2
2sin 2θ≤cos 2θ+1
2sin 2θ≤√5
2.
þªr= 1,cos θ=1
√10−4√5,sin θ=1
√10+4√5
žÒ.
=ª•ŒŠ•√5
2.
2. a, b, c •¢ê,e˜g•§ax2+bx +c= 0 k¢Š,K( )
A. max {a, b, c} ≥ 1
2(a+b+c) B. max {a, b, c} ≥ 4
9(a+b+c)
C. min {a, b, c} ≤ 1
4(a+b+c) D. min {a, b, c} ≤ 1
3(a+b+c)
‰Y. BCD.
{Û.•K¿,kb2≥4ac.
dàg5Ø”a+b+c= 1.
1Äky²: min {a, b, c} ≤ 1
4(a+b+c).
dé¡5Ø”a≥c.
Kb2≥4ac ≥4c2⇒b≥2c.
1 = a+b+c≥c+ 2c+c= 4c⇒c≤1
4.
a=c=1
4, b =1
2ž,ÎÜK¿.
=·Ky.
q5¿1
4<1
3,KÀ‘CD þ¤á.
2Ùgy²: max {a, b, c} ≥ 4
9(a+b+c).
1
eb≥4
9,K·Ky.
b=c=4
9, a =1
9ž,ÎÜK¿.
eb < 4
9,Ka+c= 1 −b > 5
9.
q5¿b2≥4ac,K
16
81 >4ac > 4a·5
9−a⇒a−1
9·a−4
9>0⇒a∈0,1
9∪4
9,+∞.
ea∈(4
9,+∞),K·Ky.
ea∈(0,1
9),džc > 5
9−a > 4
9,K·Ky.
q5¿1
2>4
9,KÀ‘Aؤá.
3. ®•²¡•þa,b,c÷v|a| ≤ 2,|b| ≤ 1,|a−2b−c|≤|a+ 2b|,Ké¤kŒUc,|c|( )
A. •ŒŠ•4√2 B. •ŒŠ•2√6 C. •Š•0 D. •Š•√2
‰Y. AC.
{Û.a⊥bž,k|a−2b|=|a+ 2b|.
-c=0,|c|= 0.
dnت,
|a+ 2b| ≥ |a−2b−c|≥|c|−|a−2b| ⇒ |c|≤|a−2b|+|a+ 2b|.
2dCauchy ت,
|c|2≤(|a−2b|+|a+ 2b|)2≤2(|a−2b|2+|a+ 2b|2)=4|a|2+ 16|b|2≤32 ⇒ |c| ≤ 4√2.
a⊥b,|a|= 2|b|= 2,…c=a+ 2bžÒ.
nþ,|c|•Š•0, •ŒŠ•4√2.
4. 34ABC ¥,AC = 1, BC =√3, AB = 2,M•AB ¥:,yò4ABC ÷CM òå,¦o¡
NB−ACM NÈ•√2
12 ,KòåAB •ÝŒU•( )
A. 1 B. √2 C. √3 D. 2
‰Y. BC.
{Û.:B3.¡K•:D,K
VB−ACM =1
3·S4ACM ·BD =1
3·√3
4·BD =√2
12 ⇒BD =√6
3.
5¿BD < √3
2,Ïd÷vK¿: Bkü‡.
1¡B−MC −A²¡•ð.
2
d½n,DM =√BM 2−BD2=√3
3, CD =√BC2−BD2=√21
3.
34DMC ¥,d{u½n,
cos ∠DMC =DM 2+MC2−CD2
2·DM ·MC =−√3
2⇒∠DMC = 150◦.
K∠AMD = 180◦−∠AM C −∠DMC = 150◦.34DM A ¥,d{u½n,
AD2=MA2+M D2−2·MA ·M D ·cos 150◦=7
3.
2d½n,AB =√AD2+BD2=√3.
2¡B−MC −A²¡•b.
Ón,AB =√2.
nþ,AB Œ±u√2½√3.
5. ®•P•ýx2
4+y2
3= 1 þÄ:,…A(1,1), Q(1,0),K|P A|+|P Q|( )
A. •ŒŠ•4 + √3 B. •ŒŠ•4 + √5 C. •Š•4−√3 D. •Š•4−√5
‰Y. BD.
{Û.R(−1,0), K|P A|+|P Q|= 4 + |P A|−|P R|.
5¿−|AR|≤|P A|−|P R| ≤ |AR|,…|AR|=√5.
K|P A|+|P Q| ∈ [ 4 −√5,4 + √5 ].
…P•‚AR †ý:ž,|P A|+|P Q|•ŒŠ4 + √5; P•‚RA †ý
:ž,|P A|+|P Q|•Š4−√5.
6. ®•A, B ©OV-‚x2
4−y2= 1 †mº:,I•TV-‚þØÓuA, B ?¿˜:,∠IAB
=α, ∠IBA =β, 4IAB ¡È•S, K( )
A. tan αtan β•½ŠB. tan α
2tan β
2•½Š
C. S·tan(α+β)•½ŠD. S·cot(α+β)•½Š
‰Y. AC.
{Û.Ø”:I31˜–•.
Pe•V-‚l%Ç,kIA, kI B ©OL«†‚IA, IB Ç,K
e=p1 + kIA ·kIB =p1−tan αtan β=√5
2⇒tan αtan β=−1
4.
•Ä:IÕªu:B, Kα
2→0,β
2→π
4.
džtan α
2tan β
2→0.
ltan α
2tan β
2ØŒU•½Š.
3
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