2020年高考真题——数学（理）（全国卷Ⅲ）含答案【精准解析】

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2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1已知集合 A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则 A∩B中元素的个数为
A.2 B.3 C.4 D.6
2.复数
1
1 3i
的虚部是
A.－
3
10
B.－
1
10
C.
1
10
D.
3
10
3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 p1，p2，p3，p4，且
4
1
1
i
i
p
，则下面四
种情形中，对应样本的标准差最大的一组是
A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某
地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：
 
0.23( 53)
1t
K
I t e 
，其中
K为最大确诊病例数。当 I(t*)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为(ln19≈3)
A.60 B.63 C.66 D.69
5.设O为坐标原点，直线 x＝2与抛物线 C：y2＝2px(p>0)交于 D，E两点，若 OD⊥OE，则 C
的焦点坐标为
A.(
1
4
，0) B.(
1
2
，0) C.(1，0) D.(2，0)
6.已知向量 a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则 cos<a，a＋b>＝
- 2 -
A.－
B.－
C.
17
35
D.
19
35
7.在△ABC 中，cosC＝
2
3
，AC＝4，BC＝3，则 cosB＝
A.
1
9
B.
1
3
C.
1
2
D.
2
3
8.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
A.6＋4
2
B.4＋4
2
C.6＋2
3
D.4＋2
3
9.已知 2tanθ－tan(θ＋
4
)＝7，则 tanθ＝
A.－2 B.－1 C.1 D.2
10.若直线 l与曲线 y＝
x
和圆 x2＋y2＝
1
5
都相切，则 l的方程为
A.y＝2x＋1 B.y＝2x＋
1
2
C.y＝
1
2
x＋1 D.y＝
1
2
x＋
1
2
11.设双曲线 C：
2 2
2 2 1( 0, 0)
x y a b
a b
 
的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为
5
。P是C
上一点，且 F1P⊥F2P。若△PF1F2的面积为 4，则 a＝
A.1 B.2 C.4 D.8
12.已知 55<84，134<85。设 a＝log53，b＝log85，c＝log138，则
A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13.著x，y满足约束条件
0
2 0
1
x y
x y
x
 
 
，则 z＝3x＋2y 的最大值为 。
14.(x2＋
2
x
)6的展开式中常数项是 。(用数字作答)。
15.已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 。
- 3 -
16.关于函数 f(x)＝sinx＋
1
sin x
有如下四个命题：
①f(x)的图像关于 y轴对称。
②f(x)的图像关于原点对称。
③f(x)的图像关于直线 x＝
2
对称。
④f(x)的最小值为 2。
其中所有真命题的序号是 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(12 分)
设数列{an}满足 a1＝3，an＋1＝3an－4n。
(1)计算 a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列{2nan}的前 n项和 Sn。
18.(12 分)
某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人
次，整理数据得到下表(单位：天)：
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为 1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3或
4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的 2×2列联表，并根据列联表，判
断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?
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