2009年高考试题——数学理（广东卷）Word版

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绝密★启用前 试卷类型：B
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
本试卷共 4页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室
号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位
置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点
涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式
1
3
V sh
，其中
S
是锥体的底面积，
h
是锥体的高
一、 选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
１．巳知全集
U R
，集合
{ 2 1 2}M x x    
和
{ 2 1, 1, 2, }N x x k k  
的关系
的韦恩（Ｖ enn）图如图 1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A．３个 Ｂ．２个
Ｃ．１个 Ｄ．无穷个
２．设
z
是复数，
( )a z
表示满足
的最小正整数
n
，则对虚数
单位
i
，
Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２
３．若函数
( )y f x
是函数
( 0, 1)
x
y a a a  且
的反函数，其图像经过点
( , )a a
，则
( )f x
Ａ．
2
log x
Ｂ．
1
2
log x
Ｃ．
1
2x
Ｄ．
2
x
４．已知等比数列
{ }
n
a
满足
0, 1, 2,
n
a n
，且
2
5 2 5
2 ( 3)
n
n
a a n
 
，则当
1n
时，
2 1 2 3 2 2 1
log log log
n
a a a
 
Ａ．
(2 1)n n
Ｂ．
2
( 1)n
Ｃ．
2
n
Ｄ．
2
( 1)n
5．给定下列四个命题：
① 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
② 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其
中，为真命题的是
Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③ 和④ Ｄ．②和④
6．一质点受到平面上的三个力
1 2 3
, ,F F F
（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知
1 2
,F F
成
0
60
角，且
1 2
,F F
的大小分别为２和４，则
3
F
的大小为
Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ．
2 5
Ｄ．
2 7
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
7．2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分
别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其
余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
Ａ．36 种 Ｂ．12 种 Ｃ．18 种 Ｄ．48 种
8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的
速度曲线分别为
v v乙
甲和
（如图 2所示）．那么对于图中给定的
0 1
t t和
，下列判断中一定正确
的是
A．在
1
t
时刻，甲车在乙车前面
B．
1
t
时刻后，甲车在乙车后面
C．在
0
t
时刻，两车的位置相同
D．
0
t
时刻后，乙车在甲车前面
二、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题 5分，
满分 30 分．
（一）必做题（９～１２题）
９．随机抽取某产品
n
件，测得其长度分别为
1 2
, , ,
n
a a a
，则
图3所示的程序框图输出的
s
，s表示的样本的数字特征是
．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）
１０． 若 平 面 向 量
,a b
满 足
1a b 
，
a b
平 行 于
x
轴，
(2, 1)b 
，则
a
．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
11．巳知椭圆
G
的中心在坐标原点，长轴在
x
轴上，离心率为
3
2
，且
G
上一点到
G
的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆
G
的方程为 ．
12．已知离散型随机变量
X
的分布列如右表．若
0EX
，
1DX
，则
a
，
b
．
（二）选做题（13 ~ 15 题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）若直线
1
1 2 ,
: ( )
2 .
x t
l t
y kt
 
 
为参数
与直线
2
,
:1 2 .
x s
ly s
 
（
s
为参数）垂直，则
k
．
14．（不等式选讲选做题）不等式
11
2
x
x
的实数解为 ．
15．(几何证明选讲选做题）如图 4，点
, ,A B C
是圆
O
上的点， 且
0
4, 45AB ACB 
，则圆
O
的面积等于 ．
三、解答题：本大题共 6小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，
16．(本小题满分12分）
已知向量
(sin , 2) (1, cos )a b
 
 与
互相垂直，其中
(0, )
2
．
（1）求
sin cos
 
和
的值；
（2）若
10
sin( ) , 0
10 2
 
 
，求
cos
的值．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
17．（本小题满分12分）
根据空气质量指数 API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据
按照区间
[0,50],(50,100],(100,150], (150, 200], (200, 250],(250,300]
进行分组，得到频率
分布直方图如图5
（1）求直方图中
x
的值；
（2）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.
(结果用分数表示．已知
）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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