2008年高考试题——数学理（北京卷）（有答案）

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2008 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1至2页，第Ⅱ卷 3
至9页，共 150 分．考试时间 120 分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共40 分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知全集 ，集合 ， ，那 么集合
等于（ ）
A．B．
C．D．
2．若 ， ， ，则（ ）
A．B．C．D．
3．“函数 存在反函数”是“函数 在 上为增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若点 到直线 的距离比它到点 的距离小 1，则点 的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5．若实数 满足 则 的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．D．9
6．已知数列 对任意的 满足 ，且 ，那么 等于（
）
A．B．C．D．
7．过直线 上的一点作圆 的两条切线 ，当直线 关于
对称时，它们之间的夹角为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，动点 在正方体 的对角线 上．过点 作垂直于平 面
的直线，与正方体表面相交于 ．设 ， ，则函数
的图象大致是（ ）
2008 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
第Ⅱ卷（共 110 分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分．把答案填在题中横线上．
9．已知 ，其中 是虚数单位，那么实数 ．
10．已知向量 与 的夹角为 ，且 ，那么 的值为 ．
11．若 展开式的各项系数之和为 32，则 ，其展开式中的常数项为
．（用数字作答）
12 ． 如 图 ， 函 数 的 图 象 是 折 线 段 ， 其 中 的 坐 标 分 别 为
，则 ；
．（用数字作答）
13．已知函数 ，对于 上的任意 ，有如下条件：
A B
C
D
M
N
P
A1B1
C1
D1
y
x
A．
O
y
x
B．
O
y
x
C．
O
y
x
D．
O
2
B
C
A
y
x
1
O3 4 5 6
1
2
3
4
① ； ② ； ③ ．
其中能使 恒成立的条件序号是 ．
14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 棵树种植
在点 处，其中 ， ，当 时，
表示非负实数 的整数部分，例如 ， ．
按此方案，第 6棵树种植点的坐标应为 ；第 2008 棵树种植点的坐标应为 ．
三、解答题：本大题共 6小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共 13 分）
已知函数 （ ）的最小正周期为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的取值范围．
16．（本小题共 14 分）
如 图 ， 在 三 棱 锥 中 ， ， ， ，
．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
17．（本小题共 13 分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 四个不同的岗位服务，每个岗位至
少有一名志愿者．
A
C
B
P
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