2007年高考试题——数学文（湖南卷）

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2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文史类）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．不等式 的解集是（ ）
A．B．C．D．
2．若 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．设 （ ）， 关于 的方程 （ ）有实数，
则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．在等比数列 （ ）中，若 ， ，则该数列的前 10 项和为（ ）
A．B．C．D．
5．在 （ ）的二次展开式中，若只有 的系数最大，则 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．如图 1，在正四棱柱 中，
分别是 ， 的中点，则以下 结论中 不成 立的是
（ ）
A． 与 垂直 B． 与 垂直
C． 与 异面 D． 与 异面
7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图 2）．
从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ）
A．48 米B．49 米C．50 米 D．51 米
AB
C
1
A
1
C
1
D
1
B
D
E
F
8．函数 的图象和函数 的图象的交点个数是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．设 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点， 是其右准线上纵坐
标为 （ 为半焦距）的点，且 ，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
10．设集合 ， 都是 的含两个元素的子集，且满足：对
任 意 的 ， （ ， ） ， 都 有
（ 表示两个数 中的较小者），则 的最大
值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25 分．把答案填在横线上．
11．圆心为 且与直线 相切的圆的方程是 ．
12．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ， ，
则 ．
13．若 ， ，则 ．
频率
组距
0.5%
1%
2%
水 位
（米）
30 31 32 33 48 49 50 51
图
2
14．设集合 ， ， ，
（1） 的取值范围是 ；
（2）若 ，且 的最大值为 9，则 的值是 ．
15．棱长为 1的正方体 的 8个顶点都在球 的表面上，则球 的表面
积是 ；设 分别是该正方体的棱 ， 的中点，则直线 被球 截得的线
段长为 ．
三、解答题：本大题共 6小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分 12 分）
已知函数 ．求：
（I）函数 的最小正周期；
（II）函数 的单调增区间．
17．（本小题满分 12 分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗
人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有
60%，参加过计算机培训的有 75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人
的选择相互之间没有影响．
（I）任选 1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选 3名下岗人员，求这 3人中至少有 2人参加过培养的概率．
18．（本小题满分 12 分）
如 图 3， 已 知 直 二 面 角 ， ， ， ， ，
，直线 和平面 所成的角为 ．
（I）证明 ；
（II）求二面角 的大小．
19．（本小题满分 13 分）
已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点，点
A
B
C
Q
P
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