2007年高考试题——数学理（四川卷）

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2007 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
理科数学参考答案
一．选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题 5分，满分 60 分
（1） A （2） C （3） D （4） D （5） A （6） C
（7） A （8） C （9） B （10） B （11） D （12） B
二．填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题 4分，满分 16 分
（13） （14） （15） （16）① ④
三．解答题：
（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角
以及计算能力。
解：（Ⅰ）由 ，得
∴ ，于是
（Ⅱ）由 ，得
又∵ ，∴
由 得：
所以
（18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期
望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）记“厂家任取 4件产品检验，其中至少有 1件是合格品”为事件 A
用对立事件 A来算，有
（Ⅱ） 可能的取值为
， ，
记“商家任取 2件产品检验，都合格”为事件 B，则商家拒收这批产品的概率
所以商家拒收这批产品的概率为
（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知
识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和
推理运算能力。
解法一：
（Ⅰ）∵
∴ ，
又∵
∴
（Ⅱ）取 的中点 ，则 ，连结 ，
∵ ，∴ ，从而
作 ，交 的延长线于 ，连结 ，则由三垂线定理知， ，
从而 为二面角 的平面角
直线 与直线 所成的角为
∴
在 中，由余弦定理得
在 中，
在 中，
在 中，
故二面角 的平面角大小为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 为正方形
∴
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面 内，过 作 ，建立空间直角坐标系 （如图）
由题意有 ，设 ，
则
由直线 与直线 所成的解为 ，得
，即 ，解得
∴ ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得
平面 的法向量取为
设 与 所成的角为 ，则
显然，二面角 的平面角为锐角，
故二面角 的平面角大小为
（Ⅲ）取平面 的法向量取为 ，则点 A到平面 的距离
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