2007年高考试题——数学理（辽宁卷）

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2007 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（供理科考生使用）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1至2页，
第Ⅱ卷 3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
参考公式：
如果事件 互斥，那么 球的表面积公式
如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ， ，则 （ ）
A．B．C．D．
2．若函数 的反函数图象过点 ，则函数 的图象必过点（ ）
A．B．C．D．
3．若向量 与 不共线， ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A．0 B．C．D．
4．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
5．若 ，则复数 在复平面内所对应的点在（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若函数 的图象按向量 平移后，得到函数 的图象，则向量
（ ）
A．B．C．D．
7．若 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
8．已知变量 满足约束条件 则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．一个坛子里有编号为 1，2，…，12 的12 个大小相同的球，其中 1到6号球是红球，其
余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1个球的号码是偶数的概
率是（ ）
A．B．C．D．
10．设 是两个命题： ，则 是 的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11 ．设 为双曲线 上的一点， 是该双曲线的两个焦点，若
，则 的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．已知 与 是定义在 上的连续函数，如果 与 仅当 时的函数
值为 0，且 ，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A．0是 的极大值，也是 的极大值
B．0是 的极小值，也是 的极小值
C．0是 的极大值，但不是 的极值
D．0是 的极小值，但不是 的极值
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 4分，共 16 分．
13．已知函数 在点 处连续，则 ．
14．设椭圆 上一点 到左准线的距离为 10， 是该椭圆的左焦点，若点
满足 ，则 = ．
15．若一个底面边长为 ，棱长为 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球
的体积为 ．
16．将数字 1，2，3，4，5，6拼成一列，记第 个数为 ，若 ，
， ， ，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共 6小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
已知函数 （其中 ）
（I）求函数 的值域；
（II）若对任意的 ，函数 ， 的图象与直线 有且仅有
两个不同的交点，试确定 的值（不必证明），并求函数 的单调增区间．
18．（本小题满分 12 分）
如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别为棱
的中点， 为棱 上的点，二面角 为 ．
（I）证明： ；
（II）求 的长，并求点 到平面 的距离．
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