《历年高考数学真题试卷》2022年高考真题——理科数学（全国乙卷）试卷

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2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）
数学（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集 ，集合 M满足 ，则（）
A． B． C． D．
2．已知 ，且 ，其中 a，b为实数，则（）
A． B． C． D．
3．已知向量 满足 ，则 （）
A． B． C．1 D．2
4．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的
人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ，
，…， ，依此类推，其中 ．则
（）
A． B． C． D．
5． 设 F为 抛 物 线 的 焦 点 ， 点 A在C上 ， 点 ， 若 ， 则
（）
A．2 B． C．3 D．
6．执行下边的程序框图，输出的 （）
{1,2,3,4,5}U
{1,3}
U
Mð
2M
3M
4M
5M
1 2iz 
0z az b  
1, 2a b  
1, 2a b 
1, 2a b 
1, 2a b   
,a b
| | 1,| | 3,| 2 | 3  a b a b
 a b
21
 
n
b
1
1
1
1b
 
2
1
2
1
11
b
 
3
1
2
3
1
11
1
b
 
( 1,2, )
k
k
 N
1 5
b b
3 8
b b6 2
b b4 7
b b
2
: 4C y x(3,0)B
| | | |AF BF
| |AB
2 2
3 2
n
A．3 B．4 C．5 D．6
7．在正方体 中，E，F分别为 的中点，则（）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
8．已知等比数列 的前 3项和为 168， ，则 （）
A．14 B．12 C．6 D．3
9．已知球 O的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O的球面上，则当该
四棱锥的体积最大时，其高为（）
A． B． C． D．
10．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲 、
乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率
为p，则（）
A．p 与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
11．双曲线 C的两个焦点为 ，以 C的实轴为直径的圆记为 D，过 作 D的切线与 C
交于 M，N两点，且 ，则 C的离心率为（）
A． B． C． D．
12．已知函数 的定义域均为 R，且 ．
若 的图像关于直线 对称， ，则 （）
1 1 1 1
ABCD A B C D
,AB BC
1
B EF
1
BDD
1
B EF
1
A BD
1
B EF∥
1
A AC
1
B EF∥1 1
A C D
 
n
a2 5 42a a  6
a
1
3
1
2
3
3
2
2
1 2 3
, ,p p p 3 2 1 0p p p  
1 2
,F F
1
F
1 2
3
cos 5
F NF 
5
2
3
2
13
2
17
2
( ), ( )f x g x ( ) (2 ) 5, ( ) ( 4) 7f x g x g x f x  
( )y g x2x(2) 4g
22
1
( )
k
f k
A． B． C． D．
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．从甲、乙等 5名同学中随机选 3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_____
_______．
14．过四点 中的三点的一个圆的方程为____________．
15．记函数 的最小正周期为 T，若 ，
为 的零点，则 的最小值为____________．
16．己知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极
大值点．若 ，则 a的取值范围是____________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求
作答．
（一）必考题：共 60分．
17．（12 分）
记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）证明：；
（2）若 ，求 的周长．
18．（2分）
如图，四面体 中， ，E为 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设 ，点 F在 上，当 的面积最小时，求 与
平面 所成的角的正弦值．
19．（12 分）
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积
2122
23
24
(0,0),(4,0),( 1,1), (4, 2)
( ) cos( )( 0,0 )f x x
 
 
3
( ) 2
f T
9
x
( )f x
1
x x
2
x x2
( ) 2 e
x
f x a x  0a
1a
1 2
x x
ABC△
, ,A B C
, ,a b c
sin sin( ) sin sin( )C A B B C A 
2 2 2
2a b c 
25
5,cos 31
a A 
ABC△
ABCD
, ,AD CD AD CD ADB BDC  
AC
BED
ACD
2, 60AB BD ACB  
BD
AFC△
CF
ABD
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