《历年高考数学真题试卷》2021年上海市春季高考数学试卷

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2021 年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～6题每题 4分，第 7～12 题每题 5
分）
1．已知等差数列 的首项为 3，公差为 2，则 　　．
2．已知 ，则 　　．
3．已知圆柱的底面半径为 1，高为 2，则圆柱的侧面积为　　．
4．不等式 的解集为　　．
5．直线 与直线 的夹角为　　．
6．若方程组 无解，则 　　．
7．已知 的展开式中，唯有 的系数最大，则 的系数和为　　．
8．已知函数 的最小值为 5，则 　　．
9．在无穷等比数列 中， ，则 的取值范围是　　．
10．某人某天需要运动总时长大于等于 60 分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问
有几种运动方式组合　　
运动 运动 运动 运动 运动
7 点 点 8 点 点 9 点 点 10 点 点 11 点 点
30 分钟 20 分钟 40 分钟 30 分钟 30 分钟
11．已知椭圆 的左、右焦点为 、 ，以 为顶点， 为焦点作抛
物线交椭圆于 ，且 ，则抛物线的准线方程是　　．
12．已知 ，存在实数 ，使得对任意 ， ，则 的最小值是
．
二、选择题（本大题共 4题，每题 5分，共 20 分)
13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是 　　
A． B． C． D．
14．已知集合 ， ， ， ，则下列关系中，正确
的是 　　
A． B． C． D．
15．已知函数 的定义域为 ，下列是 无最大值的充分条件是 　　
A． 为偶函数且关于点 对称
B． 为偶函数且关于直线 对称
C． 为奇函数且关于点 对称
D． 为奇函数且关于直线 对称
16．在 中， 为 中点， 为 中点，则以下结论：①存在 ，使得
；②存在三角形 ，使得 ；它们的成立情况是 　　
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
三、解答题（本大题共 5题，共 14+14+14+16+18＝76 分）
17．（14 分）四棱锥 ，底面为正方形 ，边长为 4， 为 中点，
平面 ．
（1）若 为等边三角形，求四棱锥 的体积；
（2）若 的中点为 ， 与平面 所成角为 ，求 与 所成角的大小．
18．（14 分）已知 、 、 为 的三个内角， 、 、 是其三条边， ，
．
（1）若 ，求 、 ；
（2）若 ，求 ．
19．（14 分）（1）团队在 点西侧、东侧 20 千米处设有 、 两站点，测量距离发现
一点 满足 千米，可知 在 、 为焦点的双曲线上，以 点为原点，东
侧为 轴正半轴，北侧为 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 在北偏东 处，求双曲
线标准方程和 点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有 、 两站点，测量距离发现 千
米， 千米，求 （精确到 1 米）和 点位置（精确到 1 米，
20．（16 分）已知函数 ．
（1）若 ，求函数的定义域；
（2）若 ，若 有 2 个不同实数根，求 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使得函数 在定义域内具有单调性？若存在，求出 的取值范
围．
21．（18 分）已知数列 满足 ，对任意 ， 和 中存在一项使其为另一项
与 的等差中项．
（1）已知 ， ， ，求 的所有可能取值；
（2）已知 ， 、 、 为正数，求证： 、 、 成等比数列，并求出
公比 ；
（3）已知数列中恰有 3 项为 0，即 ， ，且 ， ，求
的最大值．
2021 年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）
1．已知等差数列 的首项为 3，公差为 2，则 　 21 　 ．
【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．
【解析】：因为等差数列 的首项为 3，公差为 2，
则 ．故答案为：21．
【归纳总结】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
2．已知 ，则 　 　．
【思路分析】由已知求得 ，再由复数模的计算公式求解．
【解析】： ， ，
则 ．故答案为： ．
【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基
础题．
3．已知圆柱的底面半径为 1，高为 2，则圆柱的侧面积为　 　．
【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．
【解析】：圆柱的底面半径为 ，高为 ，
所以圆柱的侧面积为 ．故答案为： ．
【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．
4．不等式 的解集为　 　．
【思路分析】由已知进行转化 ，进行可求．
【解析】： ，解得， ．故答案为： ．
【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．
5．直线 与直线 的夹角为　 　．
【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
【解析】： 直线 的斜率不存在，倾斜角为 ，
直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，
故直线 与直线 的夹角为 故答案为： ．
【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．
6．若方程组 无解，则 　 0 　 ．
【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．
【解析】：对于方程组 ，有 ，
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