《历年高考数学真题试卷》2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题（解析版）

3.0 envi 2025-01-08 4 4 2.28MB 18 页 3知币
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1. 设集合
 
2 4A x x  
，
 
2,3,4,5B
，则
A B
（ ）
A.
 
2
B.
 
2,3
C.
 
3,4
D.
 
2,3,4
【. 案】B
【解析】
【分析】利用交集的定义可求
A B
.
【详解】由题设有
 
2,3A B 
，
故选：B .
2. 已知
，则
 
iz z  
（ ）
A.
6 2i
B.
4 2i
C.
6 2i
D.
4 2i
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为
2z i 
，故
2z i 
，故
 
2 2 2 6 2z z i i i i  
故选：C.
3. 已知圆锥的底面半径为
2
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A.
2
B.
2 2
C.
4
D.
4 2
【答案】B
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为
l
，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得
l
的值，即为所求.
【详解】设圆锥的母线长为
l
，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则
2 2l
 
 
，解得
2 2l
.
故选：B.
4. 下列区间中，函数
  7sin 6
f x x
 
 
 
 
单调递增的区间是（ ）
A.
0, 2
 
 
 
B.
,
2
ππ
 
 
 
C.
3
,2
 
 
 
D.
3,2
2
 
 
 
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式
 
2 2
2 6 2
k x k k Z
 
 
   
，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数
siny x
的单调递增区间为
 
2
2 ,2 2
k k k Z
 
 
 
 
 
 
，
对于函数
  7sin 6
f x x
 
 
 
 
，由
 
2 2
2 6 2
k x k k Z
 
 
   
，
解得
 
2
2 2
3 3
k x k k Z
 
 
 
，
取
0k
，可得函数
 
f x
的一个单调递增区间为
2
,
3 3
 
 
 
 
，
则
2
0, ,
2 3 3
 
 
 
 
 
，
2
, ,
2 3 3
 
 
 
 
 
，A选项满足条件，B不满足条件；
取
1k
，可得函数
 
f x
的一个单调递增区间为
5 8
,
3 3
 
 
 
 
，
3 2
, ,
2 3 3
 
 
 
 
 
且
3 5 8
, ,
2 3 3
 
 
 
 
，
3 5 8
,2 ,
2 3 3
 
 
 
 
，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成
 
siny A ωxφ 
形式，再求
 
siny A ωxφ 
的单调区间，只需把
x
 
看作一个整体代入
siny x
的相应单调区间内即可，注意
要先把
化为正数．
5. 已知
1
F
，
2
F
是椭圆
C
：
2 2 1
9 4
x y
 
的两个焦点，点
M
在
C
上，则
1 2
MF MF
的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题通过利用椭圆定义得到
1 2 2 6MF MF a  
，借助基本不等式
2
1 2
1 2 2
MF MF
MF MF  
 
 
即可得到答案．
【详解】由题，
2 2
9, 4a b 
，则
1 2 2 6MF MF a  
，
所以
2
1 2
1 2 9
2
MF MF
MF MF  
 
 
 
（当且仅当
1 2 3MF MF 
时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．
6. 若
tan 2
 
，则
 
sin 1 sin 2
sin cos
 
 
（ ）
A.
6
5
B.
2
5
C.
2
5
D.
6
5
【答案】C
【解析】
【分析】将式子进行齐次化处理，代入
tan 2
 
即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
 
2 2
sin sin cos 2sin cos
sin 1 sin 2 sin sin cos
sin cos sin cos
 
   
   
 
 
 
2
2 2 2
sin sin cos tan tan 4 2 2
sin cos 1 tan 1 4 5
   
 
 
 
 
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用
tan 2
 
，求出
sin ,cos
 
的值，可能还需要分象限讨论其正负，通
过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
7. 若过点
 
,a b
可以作曲线
ex
y
的两条切线，则（ ）
A.
eba
B.
eab
C.
0 eb
a 
D.
0 ea
b 
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果
【详解】在曲线
x
y e
上任取一点
 
,t
P t e
，对函数
x
y e
求导得
ex
y
，
所以，曲线
x
y e
在点
P
处的切线方程为
 
t t
y e e x t 
，即
 
1
t t
y e x t e  
，
由题意可知，点
 
,a b
在直线
 
1
t t
y e x t e  
上，可得
 
1 1
t t t
b ae t e a t e  
，
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