《历年高考数学真题试卷》2016年北京高考理科数学试题及答案

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2016 年北京市高考数学试卷（理科）
　
一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．（5分）（2016•北京）已知集合 A={x||x|＜2}，B={ 1﹣ ，0，1，2，3}，则 A∩B=（　
）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{ 1﹣ ，0，1} D．{ 1﹣ ，0，1，2}
2．（5分）（2016•北京）若 x，y满足 ，则 2x+y 的最大值为（　　）
A．0 B．3 C．4 D．5
3．（5分）（2016•北京）执行如图所示的程序框图，若输入的 a值为 1，则输出的 k值为
（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）（2016•北京）设 ， 是向量，则“| |=| |”是“| + |=| ﹣|”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）（2016•北京）已知 x，y∈R，且 x＞y＞0，则（　　）
A． ﹣ ＞0 B．sinx siny﹣ ＞0 C．（ ）x﹣（ ）y＜0 D．lnx+lny＞0
6．（5分）（2016•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）
A．B．C．D．1
7．（5分）（2016•北京）将函数 y=sin（2x﹣ ）图象上的点 P（ ，t）向左平移 s（s
＞0）个单位长度得到点 P′，若 P′位于函数 y=sin2x 的图象上，则（　　）
A．t= ，s的最小值为 B．t= ，s的最小值为
C．t= ，s的最小值为 D．t= ，s的最小值为
8．（5分）（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三
个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将
另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（
）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
　
二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30 分．
9．（5分）（2016•北京）设 a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，
则a=　　　　　　．
10．（5分）（2016•北京）在（1 2x﹣ ）6的展开式中，x2的系数为　　　　　　．（用数
字作答）
11．（5分）（2016•北京）在极坐标系中，直线 ρcosθ﹣ρsinθ 1=0﹣ 与圆 ρ=2cosθ 交于
A，B两点，则|AB|=　　　　　　．
12．（5分）（2016•北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前 n项和．若 a1=6，a3+a5=0，则
S6=　　　　　　．
13．（5分）（2016•北京）双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形 OABC 的
边OA，OC 所在的直线，点 B为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 a=　　
．
14．（5分）（2016•北京）设函数 f（x）=．
①若a=0，则 f（x）的最大值为　　　　　　；
②若f（x）无最大值，则实数 a的取值范围是　　　　　　．
　
三、解答题共 6小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13 分）（2016•北京）在△ABC 中，a2+c2=b2+ ac．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求 cosA+cosC 的最大值．
16．（13 分）（2016•北京）A，B，C三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情
况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
A班6 6.5 7 7.5 8
B班6 7 8 9 10 11 12
C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
（Ⅰ）试估计 C班的学生人数；
（Ⅱ）从 A班和 C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出
的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长
的概率；
（Ⅲ）再从 A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是 7，9，8.25
（单位：小时），这 3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 μ1，表格中数
据的平均数记为 μ0，试判断 μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）
17．（14 分）（2016•北京）如图，在四棱锥 P ABCD﹣ 中，平面 PAD⊥平面
ABCD，PA PD⊥，PA=PD，AB AD⊥，AB=1，AD=2，AC=CD= ．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面 PAB；
（Ⅱ）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM∥平面 PCD？若存在，求 的值，若不存在，
说明理由．
18．（13 分）（2016•北京）设函数 f（x）=xea x﹣+bx，曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处
的切线方程为 y=（e 1﹣ ）x+4，
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