《历年高考数学真题试卷》2014年山东高考文科数学真题及答案

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学山东卷
第Ｉ卷（共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
(1) 已知 是虚数单位. 若 ＝ ，则
(A) (B) (C) (D)
(2) 设集合 ，则
(A) (B) (C) (D)
(3) 函数 的定义域为
(A) (B) (C) (D)
(4) 用反证法证明命题：“设 为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做的假设
是
(A) 方程 没有实根 (B) 方程 至多有一个实根
(C) 方程 至多有两个实根 (D) 方程 恰好有两个实根
(5) 已知实数 满足 ，则下列关系式恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
(6) 已知函数 的图象如右图，则下列结论成立的是
(A) (B)
(C) (D)
(7) 已知向量 . 若向量 的夹角为 ，则实数
(A) (B) (C) 0 (D)
(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：
kPa）的分组区间为 ，将其按从左到右的顺序分别编号为第
一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共
有20 人，第三组中没有疗效的有 6人，则第三组中有疗效的人数为
17
1615141312
/kPa舒张压
频率/组距
0.36
0.08
0.16
0.24
开始
输入 x
是
0n
3
4 3 0x x  
结束
1x x 
否
输入 x
1n n 
(A) 6
(B) 8
(C) 12
(D) 18
(9) 对于函数 ，若存在常数 ，使得 取定义域内的每一个值，都有 ，则
称 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是
(A) (B)
(C) (D)
(10) 已知 满足约束条件 当目标函数 在该约束条件下取
到最小值 时， 的最小值为
(A)　5 (B) 4 (C) (D) 2
第II 卷（共 100 分）
二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25 分.
(11) 执行右面的程序框图，若输入的 的值为 1，则输出的 的值为　　.
(12) 函数 的最小正周期为　 　.
(13) 一个六棱锥的体积为 ，其底面是边长为 2的正六边形，侧棱长
都相等，则该六棱锥的侧面积为　　　　。
(14) 圆心在直线 上的圆 与 轴的正半轴相切，圆 截 轴
所得弦的长为 ，则圆 的标准方程为　　。
(15) 已知双曲线 的焦距为 ，右顶点为 A，抛
物线 的焦点为 F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长
为 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为　　　　　　。
三、解答题：本大题共 6小题，共 75 分.
(16)（本小题满分 12 分）
海关对同时从 A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量
（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6件样品进行检测.
地区 A B C
数量 50 150 100
（Ｉ）求这 6件样品中来自 A，B，C各地区商品的数量；
A
F
C
D
B
P
E
（II）若在这 6件样品中随机抽取 2件送往甲机构进行进一步检测，求这 2件商品来自相同地区的概
率.
(17) （本小题满分 12 分）
中，角 A，B，C所对的边分别为 . 已知 .
（Ｉ）求 的值；
（II）求 的面积.
(18)（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 中，
分别为线段
的中点.
（Ｉ）求证： ；
（II）求证： .
(19) （本小题满分 12 分）
在等差数列 中，已知公差 ， 是 与 的等比中项.
（Ｉ）求数列 的通项公式；
（II）设 ，记，求 .
(20) （本小题满分 13 分）
设函数 ，其中 为常数.
（Ｉ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（II）讨论函数 的单调性.
(21)（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，直线 被椭圆 截
得的线段长为 .
（Ｉ）求椭圆 的方程；
（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）. 点D在椭圆C上，且
，直线 BD 与 轴、 轴分别交于M，N两点.
（i）设直线 BD，AM 的斜率分别为 ，证明存在常数 使得 ，并求出 的值；
（ii）求 面积的最大值.
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