《历年高考数学真题试卷》2014年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理科数学
Ⅰ Ⅱ本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分
Ⅰ钟。第 卷 1至2 Ⅱ页，第 卷 3至5页。
第Ⅰ卷
一、选择题 （本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分）在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 是虚数单位，复数
A. B. C. D.
2.设变量 、 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为
A. B. C. D.
3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为
A.15 B.105 C.245 D.945
4.函数 的单调递增区间为
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.已知双曲线 ， 的一条渐近线平行于直线 ： ，双曲
线的一个焦点在直线 上，则双曲线的方程为
A. B.
C. D.
6.如图， 是圆的内接三角形， 的平分线交圆于点 ，交
于点 ，过点 的圆的切线与 的延长线交于点 ，在上述条件下，给
出下列四个结论：① 平分 ；②
FB2=FD⋅FA
；③
AE⋅CE=BE⋅DE
；④
AF⋅BD=AB⋅BF
.则所有正确结论的序号是
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
7.设 、 “，则 ” “是”的
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知菱形 的边长为 ， ，点 、 分别在边 、 上，
， .若
⃗
AE⋅
⃗
AF =1
，
⃗
CE⋅
⃗
CF =
−2
3
，则
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从
该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调
查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数
之比为 ，则应从一年级本科生中抽取 名学生.
10.一个几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何
体的体积为 .
11.设 是首项为 ，公差为 的等差数列， 为其前
项和，若 、 、 成等比数列，则 的值为 .
12.在 中，内角 、 、 所对的边分别是 、 、
.已知 ， ，则 的值为 .
13.在以 为极点的极坐标系中，圆 和直线
相交于 、 两点.若 是等边三角形，则 的值为 .
14.已知函数 ， .若方程 恰有 4 个互异的实数根，
则实数 的取值范围为 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
已知函数 ， .
⑴求 的最小正周期；
⑵求 在闭区间 ， 上的最大值和最小值.
16.（本小题满分 13 分）
某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学.在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，
其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随机选取 3
名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
⑴求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；
⑵设 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 的分布列和数学期望.
17.（本小题满分 13 分）
如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， ，点 为棱的中点.
⑴证明： ；
⑵求直线 与平面所成角的正弦值；
⑶若 为棱上一点，满足 ，求二面角 的余弦值.
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