《历年高考数学真题试卷》2013年理科数学海南省高考真题含答案

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2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学
(全国新课标卷 II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．(2013 课标全国Ⅱ，理 1)已知集合
M
＝{
x
|(
x
－1)2＜4，
x
∈R}，
N
＝{－1,0,1,2,3}，则
M
∩
N
＝(　 　 )．
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
2．(2013 课标全国Ⅱ，理 2)设复数
z
满足(1－i)
z
＝2i，则
z
＝(　 　 )．
A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i
3．(2013 课标全国Ⅱ，理 3)等比数列{
an
}的前
n
项和为
Sn
.已知
S
3＝
a
2＋10
a
1，
a
5＝9，则
a
1＝(　 　 )．
A． 　　　　　　　B． 　　　　　　　C． 　　　　　　　D．
4．(2013 课标全国Ⅱ，理 4)已知
m
，
n
为异面直线，
m
⊥平面
α
，
n
⊥平面
β
.直线
l
满足
l
⊥
m
，
l
⊥
n
，
l
α
，
l β
，则(　 　 )．
A．α∥β 且 l∥α B．α⊥β 且 l⊥β
C．α 与 β 相交，且交线垂直于 l D．α 与 β 相交，且交线平行于 l
5．(2013 课标全国Ⅱ，理 5)已知(1＋
ax
)(1＋
x
)5的展开式中
x
2的系数为 5，则
a
＝(
)．
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
6．(2013 课标全国Ⅱ，理 6)执行下面的程序框图，如果输入的
N
＝10，那么输出的
S
＝(
)．
A． 　　　　　　　
B．
C． 　　　　　　
D．
7．(2013 课标全国Ⅱ，理 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系
O
－
xyz
中的坐标分别是(1,0,1)，
(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以
zOx
平面为投影面，则得到的正视图
可以为(　 　 )．
8．(2013 课标全国Ⅱ，理 8)设
a
＝log36，
b
＝log510，
c
＝log714，则(　 　 )．
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
9．(2013 课标全国Ⅱ，理 9)已知
a
＞0，
x
，
y
满足约束条件 若
z
＝2
x
＋
y
的最小值为 1，则
a
＝(　 　 )．
A． 　　　　　　　B． 　　　　　　　C．1 D．2
10．(2013 课标全国Ⅱ，理 10)已知函数
f
(
x
)＝
x
3＋
ax
2＋
bx
＋
c
，下列结论中错误的是(　 　 )．
A． x0∈R，f(x0)＝0
B．函数 y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间( ∞－ ，x0)单调递减
D．若 x0 是 f(x)的极值点，则 f′(x0)＝0
11．(2013 课标全国Ⅱ，理 11)设抛物线
C
：
y
2＝2
px
(
p
＞0)的焦点为
F
，点
M
在
C
上，|
MF
|＝5，若以
MF
为
直径的圆过点(0,2)，则
C
的方程为(　 　 )．
A．y2＝4x 或 y2＝8x B．y2＝2x 或 y2＝8x
C．y2＝4x 或 y2＝16x D．y2＝2x 或 y2＝16x
12．(2013 课标全国Ⅱ，理 12)已知点
A
(－1,0)，
B
(1,0)，
C
(0,1)，直线
y
＝
ax
＋
b
(
a
＞0)将△
ABC
分割为
面积相等的两部分，则
b
的取值范围是(　 　 )．
A．(0,1) B． 　　　　　　　　C． 　　　　　　　D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题～第
24 题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分．
13．(2013 课标全国Ⅱ，理 13)已知正方形
ABCD
的边长为 2，
E
为
CD
的中点，则 ＝_________
_.
14．(2013 课标全国Ⅱ，理 14)从
n
个正整数 1,2 …， ，
n
中任意取出两个不同的数，若取出的两数之
和等于 5 的概率为 ，则
n
＝__________.
15．(2013 课标全国Ⅱ，理 15)设
θ
为第 二象 限角 ，若 ，则 sin
θ
＋cos
θ
＝
__________.
16．(2013 课标全国Ⅱ，理 16)等差数列{
an
}的前
n
项和为
Sn
，已知
S
10＝0，
S
15＝25，则
nSn
的最小值为
__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013 课标全国Ⅱ，理 17)(本小题满分 12 分)△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
a
＝
b
cos
C
＋
c
sin
B
.
(1)求
B
；
(2)若
b
＝2，求△
ABC
面积的最大值．
18．(2013 课标全国Ⅱ，理 18)(本小题满分 12 分)如图，直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1中，
D
，
E
分别是
AB
，
BB
1的
中点，
AA
1＝
AC
＝
CB
＝ .
(1)证明：
BC
1∥平面
A
1
CD
；
(2)求二面角
D
－
A
1
C
－
E
的正弦值．
19．(2013 课标全国Ⅱ，理 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1
t该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量
的频率分 布直 方图 ， 如 图 所示 ．经 销 商 为 下 一个 销 售 季 度 购 进 了 130 t该农 产 品 ．以
X
(单 位：
t,100≤
X
≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，
T
(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品
的利润．
(1)将
T
表示为
X
的函数；
(2)根据直方图估计利润
T
不少于 57 000 元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作
为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量
X
∈[100,110)，则取
X
＝105，且
X
＝105 的概率等于需
求量落入[100,110)的频率)，求
T
的数学期望．
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