《历年高考数学真题试卷》2013年北京高考理科数学试题及答案

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2013 北京高考理科数学试题

第一部分（选择题共 40 分）

一、选择题共 8小题。每小题 5分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合 A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则 A∩B= ( )

A.{0} B.{－1，0}

C.{0，1} D.{－1,0,1}

2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

3.“φ=π” “是曲线 y=sin(2x＋φ) ”过坐标原点的

A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.执行如图所示的程序框图，输出的 S值为

A.1 B. C. D.

5.函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与 y=ex关于 y轴对称，则 f(x)=

A. B. C. D.

6.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A.y=±2x B.y= C. D.

7.直线 l过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y轴垂直，则 l与C所围成的图形的面积等于

A. B.2 C. D.

8.设关于 x,y的不等式组表示的平面区域内存在点 P(x0，y0)满足 x0－2y0=2，求得 m的

取值范围是

A. B. C. D.

第二部分（非选择题共 110 分）

二、填空题共 6题，每小题 5分，共 30 分.

9.在极坐标系中，点(2，)到直线 ρsinθ=2 的距离等于

10.若等比数列{an}满足 a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比 q= ；前 n项和 Sn=

11.如图，AB 为圆 O的直径，PA 为圆 O的切线，PB 与圆 O相交于 D，PA=3，，则 PD=

，AB= .

12.将序号分别为 1，2，3，4，5的5张参观券全部分给 4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张

参观券连号，那么不同的分法种数是 .

13.向量 a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若 c=λa＋μb(λ，μ∈R)

，则 =

14.如图，在棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E为BC 的中点，点 P在线段 D1E上，点 P到直线

CC1的距离的最小值为 .

三、解答题共 6小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演 2013 年普通高等学校招生统一考试算步骤或证明过程

15. (本小题共 13 分)

在△ABC 中，a=3，b=2 ，∠B=2∠A.

(I)求cosA的值，

(II)求c的值

16.( 本小题共 13 分)

下图是某市 3月1日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空

气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 3月1日至 3月13 日中的某一天到达该市，并

停留 2天

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率

（Ⅱ）设 X是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X的分布列与数学期望。

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

17. (本小题共 14 分)

如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中， AA1C1C是边长为 4的正方形.平面 AB

⊥ 平面

AA1C1C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求证：AA1⊥平面 ABC；

（Ⅱ）求二面角 A1-BC1-B1的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段 BC1存在点 D，使得 AD⊥A1B，并求的值.

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