《历年高考数学真题试卷》2012年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）

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2012 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定
位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得
分.
4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（56 分）：
1．计算：
3−i
1+i=
（
i
为虚数单位）。
2．若集合
A={x|2x+1>0}
，
B={x||x−1|<2}
，则
A∩B=
。
3．函数
f(x)=¿|2 　 　 　 cos x¿|¿
¿¿¿
的值域是 。
4．若
⃗
n=(−2,1)
是直线
的一个法向量 ，则
l
的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值
表示）。
5．在
(x−2
x)6
的二项展开式中，常数项等于 。
6．有一列正方体，棱长组成以 1为首项、
1
2
为公比的等比数列，体积分别记为
V1，V2，⋯，Vn，⋯
，则
lim
n→∞
(V1+V2+⋯+Vn)=
。[
7．已知函数
f(x)=e|x−a|
（
a
为常数）。若
f(x)
在区间
[1,+∞)
上是增函数，则
a
的取值范围是
。
8．若一 个圆锥的侧面展开图是面积为
2π
的 半圆 面，则该圆锥的体积为 。
9．已知
y=f(x)+x2
是奇函数，且
f(1)=1
，若
g(x)=f(x)+2
，则
g(−1)=
。
10．如图，在极坐标系中，过点
M(2,0)
的直线
l
与极轴的夹角
α=π
6
，
若将
l
的极坐标方程写成
ρ=f(θ)
的形式，则
f(θ)=
。
11．三位同学参加跳高 、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选
择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。
12．在平行四边形
ABCD
中，
∠A=π
3
，边
AB
、
AD
的长分别为 2、1，若
M
、
N
分别是边
BC
、
|
⃗
BM |
|
⃗
BC|=|
⃗
CN|
|
⃗
CD|
上的 点，且满足
|
⃗
BM |
|
⃗
BC|=|
⃗
CN|
|
⃗
CD|
，则
⃗
AM⋅
⃗
AN
的取值范围是 。
13．已知函数
y=f(x)
的图象是折线段
ABC
，其中
A(0,0 )
、
B(1
2,5)
、
C(1,0 )
，
函数
y=xf (x)
（
0≤x≤1
）的图象与
x
轴围成的图形的面积为 。
14．如图，
AD
与
BC
是四面体
ABCD
中互相垂直的棱，
BC=2
，若
AD =2c
，
且
AB+BD=AC+CD=2a
，其中
a
、
c
为常数，则四面体
ABCD
的体积的最
大值是 。[来
二、选择题（20 分）：
15．若
1+
√
2i
是关于
x
的实系数方程
x2+bx +c=0
的 一个复数根，则（ ）
A．
b=2,c =3
B．
b=−2, c=3
C．
b=−2, c=−1
D．
b=2,c =−1
16．在
Δ ABC
中，若
sin2A+sin2B<sin2C
，则
Δ ABC
的形状是（ ）[来
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
17．设
10≤x1<x2<x3<x4≤104
，
x5=105
，随机变量
ξ1
取值
x1、x2、x3、x4、x5
的概率
均为
0 .2
，随机变量
ξ2
取值
x1+x2
2、x2+x3
2、x3+x4
2、x4+x5
2、x5+x1
2
的概率也均为
0 .2
，若
记
Dξ1、Dξ 2
分别为
ξ1、ξ2
的方差，则（ ）
A．
Dξ1>Dξ2
B．
Dξ1=Dξ2
C．
Dξ1<Dξ2
D．
Dξ1
与
Dξ2
的大小关系与
x1、x2、x3、x4
的取值有关
18．设
an=1
nsin nπ
25
，
Sn=a1+a2+⋯+an
，在
S1, S2,⋯, S100
中，正数的 个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
三、解答题（74 分）：
19．（6+6=12 分）如图，在四棱锥
P−ABCD
中，底面
ABCD
是矩形，
PA⊥¿ ¿
[来
底面
ABCD
，
E
是
PC
的中点，已知
AB=2
，
AD =2
√
2
，
PA=2
，求：
（1）三角形
PCD
的面积；
（2）异面直线
BC
与
AE
所成的角的大小。
20．（6+8=14 分）已知函数
f(x)=lg(x+1)
．
（1）若
0<f(1−2x)−f(x)<1
，求
x
的取值范围；
（2）若
g(x)
是以 2为周期的偶函数，且 当
0≤x≤1
时，有
g(x)=f(x)
，求函数
y=g(x)
（
x∈[1,2]
）的反函数。
21．（6+8=14 分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向
为
y
轴正方向建立平面直角坐标系（以 1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12
海里
A
处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
y=12
49 x2
；②定位后救援船即刻沿
直线匀速前往救援；③救援船出发
t
小时后，失事船所在位置的横坐标为
7t
．
（1）当
t=0 .5
时，写出失事船所在位置
P
的纵坐标．若此时两船恰好 会合，求
救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
22．（4+6+6=16 分）在平面直角坐标系
xOy
中， 已知双曲线
C1
：
2x2−y2=1
．
（1）过
C1
的左顶点引
C1
的一条渐进线的平 行线，求该直线与另一条渐进线及
x
轴围 成的三角形
的面积 ；
（2）设斜率为 1的直线
l
交
C1
于
P
、
Q
两点，若
l
与圆
x2+y2=1
相切，求证：
OP⊥OQ
；
（3）设椭圆
C2
：
4x2+y2=1
，若
M
、
N
分别是
C1
、
C2
上的动点，且
OM ⊥ON
，求证：
O
到直线
MN
的距离是定值。
23．（4 +6+8=18 分）对于数集
X={−1，x1，x2，⋯，xn}
，其中
0<x1<x2<⋯<xn
，
n≥2
，
定义向量集
Y={
⃗
a|
⃗
a=( s, t ), s ∈X ,t ∈X}
，若对任意
⃗
a1∈Y
，存在
⃗
a2∈Y
，使得
⃗
a1
⋅
⃗
a2=0
，
则称
X
具有性质
P
．例如
{−1,1,2}
具有性质
P
．
（1）若
x>2
，且
{−1,1,2 , x}
具有性质
P
，求
x
的值；
（2）若
X
具有性质
P
，求证：
1∈X
，且当
xn>1
时，
x1=1
；
（3）若
X
具有性质
P
，且
x1=1
、
x2=q
（
q
为常数），求有穷数列
x1，x2，⋯，xn
的通项公
式。
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