《历年高考数学真题试卷》2011年江苏高考数学试题及答案

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x
y
O
3
7
12
2
2011 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
（1）样本数据 的方差 ，其中 ．
（2）直棱柱的侧面积 ，其中 为底面周长， 为高．
（3）棱柱的体积 ，其中 为底面积， 为高．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位
置上．
1．已知集合 ， ，则 ▲ ．
2．函数
f(x)=log5(2x+1)
的单调增区间是 ▲ ．
3．设复数 满足
i(z+1)=−3+2i
（ 为虚数单位），则
z
的实部是 ▲
．
4．根据如图所示的伪代码，当输入
a , b
分别为 2，3时，最后输出的
的值为 ▲ ．
5．从 1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是
▲ ．
6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是 10，6，8，5，6，则该组数据的方差
▲ ．
7．已知 ，则
tan x
tan 2 x
的值为 ▲ ．
8．在平面直角坐标系
xOy
中，过坐标原点的一条直线与
函数
f(x)= 2
x
的图象交于 、 两点，则线段
长的最小值是 ▲ ．
9．函数 （ ， ， 是常数，
， ）的部分图象如图所示，则 的值
Read a，b
If a>b Then
m←a
Else
m←b
End If
Print m
P
E
F
A
B
C
D
是 ▲ ．
10．已知 ， 是夹角为
2
3π
的两个单位向量， ， ，若
，则实数 的值为 ▲ ．
11．已知实数
a≠0
，函数
f(x)=¿
{
2x+a , x <1¿¿¿¿
，若
f(1−a)=f(1+a)
，则 的值
为
▲ ．
12．在平面直角坐标系
xOy
中，已知点 是函数
f(x)=ex(x>0)
的图象上的动点，该
图象在 处的切线
l
交 轴于点 ，过点 作
l
的垂线交 轴于点 ，设线段
的中点的纵坐标为 ，则 的最大值是 ▲ ．
13．设 ，其中
a1,a3, a5, a7
成公比为 的等比数列，
a2, a4, a6
成公
差为 1的等差数列，则 的最小值是 ▲ ．
14．设集合 ， ，
， ，若 ， 则实数 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
在 中，角 的对边分别为
a , b , c
．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ，求
sin C
的值．
16．（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥
P−ABCD
中，平面 平面
， ， ， 分别是
A
60
EFB
xx
C
D
P
x
y
B
P
C
O
A
M
N
的中点．
求证：（1）直线 平面 ；
（2）平面 平面 ．
17．（本小题满分 14 分）
请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影
部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D四个点
重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB 上，是被切去
的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设 AE＝FB＝x（cm）．
（1）某广告商要求包装盒的侧面积 S（cm2）最大，试问 x应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积 V（cm3）最大，试问 x应取何值？并求出此时包装盒
的高与底面边长的比值．
18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系
xOy
中， 分别是椭圆
x2
4+y2
2=1
的顶点，过坐标
原点的直线交椭圆于 两点，其中点 在第一象限，过 作 轴的垂线，垂足为
，连接 ，并延长交椭圆于点 ．设直线 的斜率为 ．
（1）当直线 平分线段 ，求 的值；
（2）当 时，求点 到直线 的距离 ；
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