《历年高考数学真题试卷》2006年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）
绝密★启用前
2006 年普通高等学校招生全国统一考试（上海
卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形
码贴在答题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷
上作答一律不得分.
4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．填空题（本大题满分 48 分）
1．已知集合 A＝
¿ ¿
－1，3，2
m
－1
¿
，集合 B＝
¿¿
3，
m2
¿
．若 B
⊆
A，则实数
m
＝ ．
2．已知圆
x2
－4
x
－4＋
y2
＝0的圆心是点 P，则点 P到直线
x
－
y
－1＝0的距
离是 ．
3．若函数
f(x)
＝
ax
（
a
＞0，且
a
≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则
a
＝ ．
4．计算：
lim
n→∞
Cn
3
n3+1
＝ ．
5．若复数
z
同时满足
z
－
z
−
＝2
i
，
z
−
＝
iz
（
i
为虚数单位），则
z
＝
．
6． 如 果
cos α
＝
1
5
， 且
α
是 第 四 象 限 的 角 ， 那 么
cos (α+π
2)
＝
．
7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（－2
√
3
，0），且长轴长是短轴长的 2
AB
CD
倍，则该椭圆的标准方程是 ．
8．在极坐标系中，O是极点，设点 A（4，
π
3
），B（5，－
5π
6
），则△OAB 的
面积是 ．
9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷 1本，共 8本．将它
们 任 意 地 排 成 一 排 ， 左 边 4本 恰 好 都 属 于 同 一 部 小 说 的 概 率 是
（结果用分数表示）．
10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面
对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的
“正交线面对”的个数是 ．
11．若曲线
y2
＝|
x
|＋1与直线
y
＝
kx
＋
b
没有公共点，则
k
、
b
分别应满足的
条件是 ．
12．三个同学对问题“关于
x
的不等式
x2
＋25＋|
x3
－5
x2
|≥
ax
在[1，12]上恒成
立，求实数
a
的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量
x
的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于
x
的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即
a
的取值范围是
．
二．选择题（本大题满分 16 分）
13．如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 [答]（
）
（A）
AB
−−→
＝
DC
−−→
；（B）
AD
−−→
＋
AB
−−→
＝
AC
−−→
；
（C）
AB
−−→
－
AD
−−→
＝
BD
−−→
；（D）
AD
−−→
＋
CB
−−→
＝
0
→
．
14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在
同一平面上”的
[答]（ ）
（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非
必要条件．
15．若关于
x
的不等式
(1+k2)x
≤
k4
＋4的解集是 M，则对任意实常数
k
，总
有[答]（ ）
（A）2∈M，0∈M； （B）2
∉
M，0
∉
M； （C）2∈M，0
∉
M； （D）2
∉
1
l
2
l
O
q
北
20
10
AB
•
•C
M，0∈M．
16．如图，平面中两条直线
l1
和
l2
相交于点 O，对于平面上任意一点 M，若
p
、
q
分别是 M到直线
l1
和
l2
的距离，则称有序非负实数对（
p
，
q
）是点 M的
“距离坐标”．已知常数
p
≥0，
q
≥0，给出下列命题：
①若
p
＝
q
＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点
有且仅有 1个；
②若
pq
＝0，且
p
＋
q
≠0，则“距离坐标”为
（
p
，
q
）的点有且仅有 2个；
③若
pq
≠0，则“距离坐标”为（
p
，
q
）的点有且仅有 4个．
上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
三．解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6题，解答下列各题必须写出必要的
步骤．
17．（本题满分 12 分）
求函数
y
＝2
cos(x+π
4)cos(x−π
4)
＋
√
3 sin2 x
的值域和最小正周期．
[解]
18．（本题满分 12 分）
如图，当甲船位于 A处时获悉，在其正东方向相距20 海里的B处有一艘渔
船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30
∘
，相
距10 海里 C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援
（角度精确到 1
∘
）？
[解]
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