北京市朝阳区清华大学附属中学朝阳学校CACA2024-2025学年12月尖子生测试高三数学1试卷 Word版含解析

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CACA202412 月测试-数学 1

一、单项选择题：本题共 15 小题，每小题 5分，共 75 分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，若集合 A、B满足：，则集合对共有（）

个．

A. 36 B. 48 C. 64 D. 81

【答案】D

【解析】

【分析】利用子集的意义分类讨论可求得集合对的个数.

【详解】因为，，

当时，又，故，

当集合中有一个元素时，又，这样的集合对有，

当集合中有两个元素时，又，这样集合对有，

当集合中有三个元素时，又，这样的集合对有，

当集合中有四个元素时，又，这样的集合对有，

所以集合对共有 .

故选：D.

2. 已知的三条边上的高分别为，若，则的取值范围为（

）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】设的面积为，由题意可得，利用三角形三边关系可

求解.

【详解】设的面积为，由题意可得，又因为

，

所以，由三边关系定理可得，

所以，所以，所以，

所以，所以的取值范围为 .

故选：D.

3. 设数据 1，2，3，4，5的第 m百分位为，，则

集合 M中元素的个数为（）

A. 5 B. 6 C. 9 D. 100

【答案】C

【解析】

【分析】根据百分位数的定义，利用的不同取值范围分类讨论求解.

【详解】设％，其中，所以％，

当时，，则的比邻整数为 1，所以；

当时，，所以；

当时，，则的比邻整数为 2，所以；

当时，，所以；

当时，，则的比邻整数为 3，所以；

当时，，所以；

当时，，则的比邻整数为 4，所以；

当时，，所以；

当时，，则的比邻整数为 5，所以；

当时，；

综上，，

故选:C.

4. 已知函数在上是增函数，则实数的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可知，对任意的，，令，则，可

得出，利用参变量分离法可求出的最小值.

【详解】因为，则，

因为，令，则，

因为函数在上是增函数，则对任意，恒成立，

即对任意的，，可得，

因为函数、在区间上为减函数，

所以，函数在上为减函数，则，

因此，实数的最小值为 .

故选：A.

5. 已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，利用已知可得，可得点在直线

上，进而可求得到直线的距离，进而可得，赋值法可判断

CD.

【详解】设，由，可得，

，

因为，所以，

所以，

所以，点在直线上，，

所以原点到的距离，

又，所以，所以，

所以与以为圆心，1为半径圆总相切，

，所以的最小值为 1的平方 1，

所以，故 A正确；B错误；

当时，，则，故 C错误；

当时，，则，故 D错误.

故选：A.

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