北京市八一学校2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷 Word版含解析

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北京市八一学校 2025 届高三年级 12 月月考
2024.12.04
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1. 已知集合 ， ，且 ，那么 值可以是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：因为 ,故集合 B能取遍一切小于等于 1的实数，则 m>1,故选 D
2. 下列函数中，定义域为 的奇函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据常见函数的定义域及奇偶性判断各选项即可.
【详解】对于 A，函数 的定义域为 ，为偶函数；
对于 B，函数 的定义域为 ，为奇函数；
对于 C，函数 的定义域为 ，为非奇非偶函数；
对于 D，函数 的定义域为 ，
因为 为奇函数，所以函数 为奇函数.
故选：D.
3. 已知双曲线 的一个焦点是 ，则其渐近线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件计算出 的值，再根据渐近线方程为 可求结果.
【详解】因为 的一个焦点是 ，所以 ，所以
，
所以渐近线方程为 ，即为 ，
故选：B.
4. 已知函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线 对称
C. 的一个零点为 D. 在 上单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】利用辅助角公式计算可得 ，可判断 A正确，由对称轴方程可得 B正
确，令 代入验证可得 C正确，再由余弦函数单调性可判断 D错误.
【详解】由 可得 ，
对于 A，因此 的最小正周期为 ，可得 A正确；
对于 B，易知 的对称轴方程为 ，解得
，
当 时，可得 ，即 的图象关于直线 对称，即 B正确；
对于 C，易知 ，
令 ，即 ，当 时可得 ，
因此 的一个零点为 ，即 C正确；
对于 D，当 时， ，
结合余弦函数单调性可得函数 在 上单调递减，在 上
单调递增，即 D错误.
故选：D
5. 已知半径为 1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】求出圆心 的轨迹方程后，根据圆心 到原点 的距离减去半径 1可得答案.
【详解】设圆心 ，则 ，
化简得 ，
所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
所以 ，所以 ，
当且仅当 在线段 上时取得等号，
故选：A.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
6. 已知 与 是非零向量，且 ，则 是 与 垂直的（
）
A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；
C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件．
【答案】C
【解析】
【分析】利用条件证明必要性和充分性即可.
【详解】因为 与 是非零向量，且 ，当 时，
，
所以 与 垂直，故充分性成立，
若 与 垂直，
则
因为 与 是非零向量，且 ，
所以 ，
所以必要性成立，
故若 与 是非零向量，则 是 与 垂直的充要条件，
故选：C.
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