重庆市2023-2024学年普通高等学校招生全国统一考试第二次诊断考试高三数学试卷答案

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第二次联合诊断检测（数学）第 5 页共 10 页

2024 年普通高等学校招生全国统一考试

高三第二次联合诊断检测数学参考答案

一、单选题

1～8 ABBB DCCA

7题提示：设 APO BPO





，||OP x，则 3

sin



，

cos x





，2

|||| 3PA PB x



，

cos cos 2 1 2sin 1APB



    ，

则有 29

||cos 2

PA PB PA APB  

2

(3)(1)

 

227360xx 

，解得 22

(2 3)( 12) 0xx





，23x，212x



，即 23x．

8题提示： 21

ln( 2) ln( 2)

AB xx

kxx

 

，令 2( 1, 2)

tx i  ，则 21

ln ln

AB tt

ktt



，由

111

2xx



则有 12 4tt



，

则21

21 12

ln ln 11

tt tt



．

二、多选题

9．BCD 10．AC 11．AC

11 题提示：由条件知 22

NOF NF O，2

tan b

NOF a



，2

cos a

NF O c



，2

sin b

NF O c



，

联立

0bx ay bc













可得 (, )

cbc

Na，1(,0)



2(,0)

A选项： 1

(, )

cbc

FN a





，2(,)

cbc

FN a





，

则有

222

cbc

 

，22

3ba，所以 2e



，A正确．

B选项：由 12

FMF



，则有 22

||2cos 2

Fc NFOa





，12

||2sin 2

Fc NFOb





，又

||||2

FMFa

，所以 22 2baa，2ba



，22

5ca，所以 5e，B错误．

C选项：由 22

||2| |NF MF



，则 3

(, )

cbc

Ma，因为

在C上，所以有

222

16 16

cbc

aab



，

2ca，

{#{QQABIQIEogiAAJIAARgCEQVQCAGQkBACACoGgEAIsAABiANABAA=}#}



第二次联合诊断检测（数学）第 6 页共 10 页

所以 2e，C正确．

D选项：由 12

||||2

FMFa

，

22 2

4| || |

cos 2| |2c

cMF MF

NF O MF



  ，解得

MF a



，

||2

MF a



，由 12

||5||

FMF，即

22 22

ac ca





 ，解得

2ac，所以12e ，

D错误．

三、填空题

12．94% 13．27



14．2

51 3（或 155

3）

14 题提示：易求得 n

an，(1)

nnn

S

．令 2

)12

fx x

 ，0x，则

128 2( 6

() )x

fx x x





．当

(0 4)x，时， () 0fx

，当 (4 )x，时， () 0fx



，所以 ()

x在(0 4)，上单调递减，在 (4 )



，

上单调递增．

128 128 155

933S

S，

128 64 172

36 33

，所以 2128

的最小值为 2

51 3

(即155

3)．

四、解答题

15．（13 分）

解：（1）在

BD△中， ,EF

分别为 ,

BAD

的中点，所以 //

FBD

，

因为

F平面 1

CBD，BD 平面 1

CBD，所以 //EF 平面 1

CBD． ……2分

因为 //

CAB

，1

CABEB

，

由题意 11

CDC

，11

CDC，

所以 11

//EB DC 且11

EB DC



，四边形 11

BC D E 为平行四边形，

故11

ECB

，

因为 1

DE平面 1

CBD，1

CB平面 1

CBD，所以 1//DE 平面 1

CBD． ……5分

因为 1

,EF D E 为平面 1

DEF中两相交直线，所以平面 1//DEF 平面 1

CBD． ……6分

（2）在

BD△中， 1

D，22AB DC

，60DAB 



，

所以 3BD ，

DBD，则 1

DDBDD两两垂直，……8分

以



方向为

轴正方向，建立空间直角坐标系

xyz



，如图．

则13

(, ,0)

E，1

(,0,0)

F，1(1, 0, 1)A，1

(,,1)

C，

(0, ,0)

FE 



，1

(,0,1)

FA 



，1

(,,1)

DC 





，

x y

{#{QQABIQIEogiAAJIAARgCEQVQCAGQkBACACoGgEAIsAABiANABAA=}#}

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