福建省福州市福建师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷

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福建师大附中 2023-2024 学年第一学期期末考
高三数学试卷
时间：120 分钟满分：150 分
命题：刘文清 黄道辉 审核：周裕燕
试卷说明：
（1）本卷共四大题，20 小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。
（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、单项选择题：每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的。
1．集合
P={x∣x<2}, Q={ y∨y=
(
1
2
)
x
}
，则
P ∩Q=¿
A．
(
− ∞ , 1
4
)
B．
(
0,1
4
)
C．
(
0,2
)
D．
⌀
2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有
A．10 种B．20 种C．25 种D．32 种
3．设
k=1,2,3,4,5
，则
的展开式中
x❑k
的系数不可能是
A．10 B．40 C．50 D．80
4．已知
⃗
a=
(
1,0
)
,
|
⃗
b
)
=1,
|
⃗
a −
⃗
b
)
=❑
√
3
，则
⃗
a
与
⃗
a −
⃗
b
的夹角为
A．
π
6
B．
π
3
C．
2π
3
D．
5π
6
5．已知锐角
θ
满足
2 cos 2 θ=1+sin 2 θ
，则
tan θ=¿
A．
1
3
B．
1
2
C．2 D．3
6．设
Sn
为等差数列
{an}
的前
n
项和，则“对
∀n∈N∗, an+1>an
”是“
n Sn+1>
(
n+1
)
Sn
”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知双曲线
C:x2
a2−y2
b2=1
(
a>0, b>0
)
的左、右焦点分别为
F1、F1
，点
P
是
C
上的一点，
P F2⊥F1F2,∠F1P F2
的平分线与
x
轴交于点
A
，记
△P F1A , △P F2A
的面积分别为
S1, S2
，且
S1
S2
=3
2
，则
C
的离心率为
A．
❑
√
3
B．
❑
√
5
C．
❑
√
7
D．3
8．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三
条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面
ABCD
为平行四边形，
EF /¿
面
ABCD
，记该刍甍的体积为
V1
，三棱锥
E − ABD
的体积为
V2
，
AB=a , EF=b
，若
V2
V1
=2
5
，则
b
a=¿
A．1 B．
1
2
C．
1
3
D．
2
3
二、多项选择题：每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，正确选项不少于 2个，全
部选对得 6分，选对但不全得 3分，有选错得 0分。
9．2023 年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续 5天的流感就诊人数
y
与第
x
(
x=1,2,3,4,5
)
天
的数据如表所示.
x
1 2 3 4 5
y
21
10 a
15 a
90 109
根据表中数据可知
x , y
具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为
y=20 x+10
，则
A．样本相关系数在
¿
内B．当
x=2
时，残差为
−2
C．点
(
3,15 a
)
一定在经验回归直线上 D．第 6天到该医院就诊人数的预测值为 130
10．设
F
是抛物线
C:y2=4x
的焦点，直线
l
过点
F
且与抛物线
C
交于
A , B
两点，
O
为坐标原点，则下列结
论正确的是
A．
∣AB∣≥4
B．
∣OA ∣+∣OB ∣>8
C．若点
P
(
4,1
)
，则
∣PA ∣+∣AF ∣
的最小值是 5
D．若
AB
倾斜角为
π
3
，且
∣AF ∣>∣BF ∣
，则
∣AF ∣=3∣BF ∣
11．已知函数
f
(
x
)
的定义域为
(
0,+∞
)
, x>1
时，
f
(
x
)
>2
，且对任意的
x,y∈
(
0,+∞
)
，有
f
(
xy
)
=f
(
x
)
⋅f
(
y
)
− f
(
x
)
− f
(
y
)
+2
.则下列说法正确的是
A．
f
(
1
)
=2
B．当
x∈
(
0,1
)
时，
f
(
x
)
<2
C．
f
(
x
)
在区间
(
0,1
)
上单调递减
D．存在实数
k
使得函数
y=∣f
(
x
)
+k∣
在区间
(
0,1
)
上单调递减
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
二、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12．设复数
z=i+1
i− 1
（
i
为虚数单位），则
z+1
z=¿
.
13．如图，在三棱锥
P − ABC
中，
AC ⊥BC
，
PA ⊥
平面
ABC
，且
PA=AB
，
E
为
PB
中点，
AF ⊥PC
于
点
F
，写出图中一条一定与
EF
垂直的线段为 .
14．设
a>0
，已知函数
f
(
x
)
=ex− a ln
(
ax +b
)
−b
，若
f
(
x
)
≥0
恒成立，则
ab
的最大值为 .
四、解答题：6小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或油算步骤。
15．（12 分）
某学校有
A、B
两家餐厅，王同学第 1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，如果第1天去
A
餐厅，那么第2
天去
A
餐厅的概率为 0.6；如果第1天去
B
餐厅，那么第2天去
A
餐厅的概率为 0.8.
（1）求王同学第 2天去
A
餐厅用餐的概率；
（2）如果王同学第 2天去
A
餐厅用餐，求他第1天在
A
餐厅用餐的概率；
（3）
A
餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升.改造提升后，
A
餐厅对就餐满意程度
进行了调查，统计了 100 名学生的数据，如下表（单位：人）.
就餐满意程度
A
餐厅改造提升情况 合
计
改造提升前改造提升后
满意28 57 85
不满意12 3 15
合计 40 60 100
依据小概率值
α=0.005
的独立性检验，能否认为学生对于
A
餐厅的就餐满意程度与餐厅的改造提升有关
联？如果有关联，请分析两者的影响规律.
附：
χ2=n
(
ad − bc
)
2
(
a+b
) (
c+d
) (
a+c
) (
b+d
)
，其中
n=a+b+c+d
.
α
0.1 0.05 0.01 0.005
xa
2.706 3.841 6.635 7.879
16．（13 分）
设
△ABC
的三个内角
A , B , C
所对的边分别为
a , b , c
，且
C=π
3
.
（1）若
a+b=1
，求
c
的最小值；
（2）求
cos A+cos B − cos A − B
2
的值.
17．（13 分）
已知数列
{an}
满足：
a1=1
，
an+an+1=3n+λ
(
n∈N∗
)
，
λ∈R
.
（1）证明：数列
{a2n}
是等差数列；
（2）是否存在
λ
，使得数列
{an}
为等差数列？若存在，求
λ
的值及数列
{an}
的前
n
项和
Sn
；否则，请说明理
由.
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