福建省福州第一中学2024届高三下学期5月模拟考试数学试题(1)
2024 年福州一中高三模拟考试
数学试题
（完卷时间：120 分钟；满分：150 分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知
A={x∨2x>1}
，
B={x∨x2+x −2≤0}
，则
A∪B=¿
A．
{x∨x>−2}
B．
{x∨x ≥− 2}
C．
{x∨0<x ≤ 1}
D．
{x∨0≤ x ≤ 1}
2．已知
m≠ 0
，向量
⃗
a=
(
m , n
)
，
⃗
b=
(
−2, m
)
，若
|
⃗
a+
⃗
b
)
=
|
⃗
a −
⃗
b
)
，则实数
n=¿
A．
±❑
√
2
B．
❑
√
2
C．
−2
D．2
3．等比数列
{an}
的前
n
项和为
Sn
，若
an>0
，
q>1
，
a3+a5=20
，
a2⋅a6=64
，则
S5=¿
A．30 B．31 C．62 D．63
4．将甲、乙等 5名同学分配到 3个社区进行志愿服务，要求每个社区不能少于 1人，且甲、乙在同一社
区，则不同的安排方法数为
A．54 B．45 C．36 D．27
5．已知函数
f
(
x
)
是偶函数，当
x>0
时，
f
(
x
)
=x❑3+2x
，则曲线
y=f
(
x
)
在
x=−1
处的切线方程为
A．
y=−5x −2
B．
y=−5x−8
C．
y=5x+2
D．
y=5x+8
6．已知圆锥的顶点为
S
，母线
SA
，
SB
所成角的余弦值为
7
8
，且该圆锥的母线是底面半径的
❑
√
2
倍，若
△SAB
的面积为
5❑
√
15
，则该圆锥的表面积为
A．
40 ❑
√
2π
B．
(
40+40 ❑
√
2
)
π
C．
80 ❑
√
2π
D．
(
40+80❑
√
2
)
π
7．当药品
A
注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时
25 %
的速度减少，另一种药物
B
注射到人体
内，它在血液中的残余量会以每小时
10 %
的速度减少.现同时给两位患者分别注射
800 mg
药品
A
和
500 mg
药品
B
，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（参考数据：
lg2=0.301
，
lg3=0.477
）
A．
0.57 h
B．
1.36 h
C．
2.58 h
D．
3.26 h
8．在
△ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对应的边分别为
a
，
b
，
c
，点
M
为边
BC
的中点，若
AM =AC
，
cos 2 B=cos
(
A+C
)
，则
sin ∠BAC =¿
（ ）
A．
❑
√
3
3
B．
❑
√
6
3
C．
❑
√
21
7
D．
2❑
√
7
7
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9．下列说法中，正确的命题是
A．数据 40，27，32，30，38，54，31，50 的第 50 百分位数为 32
B．已知随机变量
ξ
服从正态分布
N
(
2, δ2
)
，
P
(
ξ<4
)
=0.84
，则
P
(
2<ξ<4
)
=0.34
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为
^
y=
^
a+
^
b x
，若
^
b=2
，
x=1
，
y=3
，则
^
a=1
D．若样本数据
x1, x2,⋯, x10
的方差为 2，则数据
2x1−1,2x2−1,⋯,2x10 −1
的方差为 4
10．已知
F1
，
F2
为椭圆
Γ:x2
a2+y2=1
(
a>1
)
的左、右焦点，
P
为平面上一点，若
⃗
P F1⋅
⃗
P F2=0
，则
A．当
P
为
Γ
上一点时，
△P F1F2
的面积为 1
B．当
P
为
Γ
上一点时，
1
|
P F1
)
+1
|
P F2
)
的值可以为 1
C．当满足条件的点
P
均在
Γ
内部时，则
Γ
的离心率小于
❑
√
2
2
D．当点
P
在
Γ
的外部时，在
Γ
上必存在点
M
，使得
⃗
M F1⋅
⃗
M F2=0
11．在棱长为 2的正方体
ABCD− A1B1C1D1
中，
M
，
N
，
P
分别是
A A1
，
C C1
，
C1D1
的中点，
Q
是线
段
D1A1
上的动点，则
A．存在点
Q
，使
PQ /¿
平面
MBN
B．存在点
Q
，点
Q
到直线
BP
的距离等于
2
3
C．过
A
，
M
，
B
，
N
四点的球的体积为
9π
2
D．过
Q
，
M
，
N
三点的平面截正方体
ABCD− A1B1C1D1
所得截面为六边形
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12．已知复数
z
满足
z
(
3−4i
)
=
(
1+i
)
2
（
i
是虚数单位），则
|
z
)
=¿
Ø .
13．能说明“若
f
(
x
)
<f
(
0
)
对任意的
x∈¿
都成立，则
f
(
x
)
在
[0,2]
上是减函数”为假命题的一个函数是
.
14．设集合
A
为含有
n
个元素的有限集.若集合
A
的
m
个子集
A1, A2,⋯, Am
满足以下 3个条件：①
A1, A2,⋯, Am
均非空；②
A1, A2,⋯, Am
中任意两个集合交集为空集；③
A1∪A2∪⋯∪Am=A
.则称
A1, A2,⋯, Am
为集合
A
的一个
m
阶分拆.
若
A={1,2,3,⋯,2024 }
，
A1
，
A2
为
A
的2阶分拆，集合
A1
所有元素的平均值为
P
，集合
A2
所有元素的平
均值为
Q
，则
|
P −Q
)
的最小值等于 Ø ，最大值等于 Ø .
四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13 分）
已知数列
{an}
中，
a1=1
2
，
an+1=2an−❑
√
3 cos
(
n π
3−π
6
)
.
（1）证明：数列
{an−cos n π
3}
为常数列；
（2）求数列
{n an}
的前 2024 项和.
16．（15 分）
如图，在四棱锥
P − ABCD
中，
△PAD
是以
AD
为斜边的等腰直角三角形，
BC/¿AD
,
AB⊥AD
，
AD=2AB=2BC=2
，
PC=❑
√
2
，
E
，
F
分别为
PD
，
BE
的中点.
（1）证明：
P
，
A
，
C
，
F
四点共面；
（2）求直线
DF
与平面
PAC
所成角的正弦值.
17．（15 分）
某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店外卖覆盖
A
，
B
两个区域，骑手入职只能选择其中一个区域.其
中区域
A
无底薪，外卖业务每完成一单提成5元；区域
B
规定每日底薪150 元，外卖业务的前 35 单没有提
成，从第 36 单开始，每完成一单提成8元.为激励员工，快餐连锁店还规定，凡当日外卖业务超过55 单的
外卖骑手可额外获得“精英骑手”奖励 50 元.该快餐连锁店记录了骑手每天的人均业务量，整理得到如图
所示的两个区域外卖业务量的频率分布直方图.
用频率估计概率，回答以下问题.
（1）从以往统计数据看，新入职骑手选择区域
A
的概率为 0.6，选择区域
B
的概率为 0.4，
（ⅰ）随机抽取一名骑手，求该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率；
（ⅱ）若新入职的甲，乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人区域选择相互独立，求至少有两名
骑手选择区域
A
的概率；
（2）若仅从人均日收入的角度考虑，新聘骑手应选择入职哪一区域？请说明你的理由（同组中的每个数
据用该组区间的中点值代替）.
18．（17 分）
已知双曲线
C:y❑2−x❑2
3=1
的上、下顶点分别为
A
，
B
.
（1）若直线
l:y=kx+2
与
C
交于
M
，
N
两点，记直线
AM
与
BN
的斜率分别为
k1
，
k2
，求
k1
k2
的值；
（2）过
C
上一点
D
作抛物线
x❑2=2❑
√
3y
的切线
l1
和
l2
，切点分别为
P
，
Q
，证明：直线
PQ
与圆
x❑2+y❑2=1
相切.
19．（17 分）
已知函数
f
(
x
)
=e❑x
，
g
(
x
)
=sin x+cos x
，其中
e
为自然对数的底数.
（1）证明：
x ≥ 0
时，
f
(
x
)
−1≥ x ≥sin x
；
（2）求函数
ℎ
(
x
)
=f
(
x
)
− g
(
x
)
在
(
−5
4π ,+∞
)
内的零点个数；
（3）若
f
(
x
)
+g
(
x
)
≥ ax +2
，求
a
的取值范围.
【参考答案】
2024 年福州一中高三模拟考试
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．B 2．D 3．B 4．C 5．A 6．B 7．C 8．C
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9．BC 10．ACD 11．AC
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12．
2
5
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