福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校协作2023-2024学年高三上学期12月联考试题 数学 含解析

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“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作
2023—2024 学年第一学期联考
高三数学试题
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1. 若集合
 
| 1 2, NA x x x  
，
 
| ln 0B x x 
，则
A B
的元素的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C.
3
D.
4
2. 复数
5
i
1 i
z
的
虚部为（ ）
A.
1
2
B.
C.
1
2
D.
1i
2
3. 函数
2
2
2
sin ln x
y x x
 
的图象可能是（ ）．
A
.
B. C.
D.
4. 设
ABC
的内角
, ,A B C
的对边分别为
, ,a b c
，若
2 2, 4,C 45 ,a c  
则
A
的值可以为（ ）
A.
30
B.
60
C.
120
D.
30
或
150
5. 若向量
(0, 2, 2)a
，
(1,0, )b
，且
( ) 2a b b
 
 
，则
a
在
b
方向上的投影向量是（ ）
A.
2b
B.
b
C.
b
D.
2b
6. 设
2022
2023
2 1
2 1
a
，
2023
2024
2 1
2 1
b
，则下列说法中正确的是（ ）
A.
a b
B.
1 1
2 2
a b
   
   
   
C.
2 2 2a b 
D.
2
b a
a b
 
7. 我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将 1，2，3，…，9填入
3 3
的方格内，使三
行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数 1，2，3，…，
2
n
填入
n n
的方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做
n
阶幻方．记
n
阶幻方的每
列的数字之和为
n
N
，如图，三阶幻方的
315N
，那么
9
N
（ ）
4
9
2
3
5
7
8
1
6
A. 41 B. 369 C. 1476 D. 3321
8. 函数
 
2ln , 0
π
sin , π 0
6
xx
x
f x
x x
 
 
 
 
，若
2
2 ( ) 3 ( ) 1 0f x f x  
恰有 6个不同实数解，正实数
的
范围为（ ）
A.
10 ,4
3
 
 
B.
10 , 4
3
 
 
C.
10
2, 3
 
 
D.
10
2, 3
 
 
二、多项选择题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有
多个选项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分．）
9. 函数
 
π
2sin 0, 2
f x x
 
 
 
 
 
的部分图象如图所示，则（ ）
A.
2
B.
π
3
C. 点
π,0
6
 
 
 
是函数
 
f x
图象的一个对称中心
D. 直线
11π
12
x
是函数
 
f x
图象的对称轴
10. 已知数列
 
n
a
中，
11a
，
 
12 N
n
n n
a a n
 
，则下列结论正确的是（ ）
A.
413a
B.
 
n
a
是递增数列 C.
10 1000a
D.
12 1
n n
a a
 
11. 已知函数
 
f x
的定义域为
R
，若
   
1g x f x 
，且
 
1 , 2g x f x 
均为奇函数，则（ ）
A.
 
0 1g 
B.
 
1 0g
C.
 
2 1g
D.
 
03g
12. 如图，直四棱柱
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，底面 ABCD 为平行四边形，
60BAD
,
11AB AA 
，点 P
是经过点
1
B
的半圆弧
1 1
A D
上的动点（不包括端点），点 Q是经过点 D的半圆弧
BC
上的动点（不包括端点），
则下列说法正确的是（ ）
A. 四面体 PBCQ 的体积的最大值为
1
3
B.
1
BC A P
 
的取值范围是
[0, 4]
C. 若二面角
1
C QB C 
的平面角为
，则
1
tan 2
D. 若三棱锥
P BCQ
的外接球表面积为 S，则
4π,13πS
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
三、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．）
13. 已知角
的顶点为原点，始边为
x
轴的非负半轴，若其终边经过点
 
1, 2P
，
2
sin2
cos 1
___．
14. 命题“
Rx 
，
21 0ax ax  
”为假命题，则实数
a
的取值范围是______．
15. 设点
1
P
，
2
P
，
3
P
在
O
上，若
1 2 3 0OP OP OP  
  
，则
1 2 3
PP P 
_________．
16. 已知无穷等差数列
 
n
a
中的各项均大于 0，且
2
1 3 5 8a a a  
，则
311
1 3
aa
a a
的范围为_____________.
四、解答题（本大题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知函数
 
2π
2 3 cos 2sin π cos 3
2
f x x x x
 
 
 
 
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