2024届福建省三明市普通高中高三毕业班5月质量检测数学答案

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三明市 2024 年普通高中高三毕业班质量检测
数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内
容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答
有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5分，满分 40 分．
1．C 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 7．B 8．C
二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 6分，满分 18 分．全部选对的得 6分，
部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．BC 10．ACD 11．BCD
三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5分，满分 15 分．
12．
6
13．
1,3
e
 
 
 
14．
 
6,7,8,9
,
21
（第一空 2分，第二空 3分）
四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.解法一：（1）证明：取
BD
的中点
M
，连接
PM MC、
,······················· 1 分
∵
和
均为等边三角形，
∴
BD PM
，
BD CM
.·································································· 2 分
又
PM CM M
，
∴
BD
平面
CPM
，·········································································3 分
CP 又
平面
CPM
，
∴
BD CP
.····················································································4 分
（2）以
M
为原点，
,MB MC
 
所在直线为
,x y
轴，过
M
作平面
BCD
的垂线所在直
线为
z
轴，如图所示建立空间直角坐标系，··········································· 5 分
∵平面
平面
PBD
，平面
ABD
平面
PBD BD
，
PM
平面
PBD
，
PM BD
∴
PM
平面
ABD
.
∵
和
均为等边三角形，
∴
3PM MC PC  
，
60PMC  
，
{#{QQABDYaEoggoAJJAABhCQQUgCkAQkAEAAKoGwAAIMAAAiBFABCA=}#}
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∴
3 3
0, ,
2 2
P 
 
 
 
，
 
0, 3, 0C
，
 
1,0, 0B
，··············································6 分
∴
3 3
1, ,
2 2
BP  
 
 
 
 
，
 
1, 3, 0BC  
.
3 3
0, ,
2 2
MP  
 
 
 
设平面
PBC
的法向量为
( , , )x y zm
∴
0,
0
BP
BC
 
 
m
m
即
3 3 0,
2 2
3 0
x y z
x y
 
 
取
1z
,则
 
3, 3,1m
，···································································8 分
平面
ABD
的法向量
3 3
0, ,
2 2
MP  
 
 
 
，················································· 10 分
设平面
ABD
与平面
PBC
的夹角为
，
∴
cos cos , MP
MP
MP
n
n
n
3 39
13
3 13
 
·································· 12 分
∴平面
ABD
与平面
PBC
夹角的余弦值为
39
13
.····································13 分
解法二：（1）同解法一······································································ 4 分
（2）如图，取
MC
的中点
E
为原点，连接
PE
，过点
E
作
/ /EF MB
,交
BC
于点
F
,
由（1）知
CM BD
,
EF MC
,
又由（1）知
BD
平面
CPM
，
PE 又
平面
CPM
，∴
BD PE
，
∵
和
均为等边三角形且棱长为
2
，
∴
3PM MC PC  
，
PE MC 
,
BD MC M 
PE CBD 平面
以
E
为原点，
, ,EF EC EP
  
所在直线为
, ,x y z
轴，
建立空间直角坐标系，如图所示·························································· 5 分
∵平面
平面
PBD
，平面
ABD
平面
PBD BD
，
PM
平面
PBD
，
PM BD
∴
PM
平面
ABD
，
{#{QQABDYaEoggoAJJAABhCQQUgCkAQkAEAAKoGwAAIMAAAiBFABCA=}#}
第3页 共 11 页
平面
ABD
的法向量
3 3
0, ,
2 2
MP  
 
 
 
··················································· 7 分
∴
3
0, 0, 2
P 
 
 
，
3
0, ,0
2
C 
 
 
 
，
3
1, ,0
2
B 
 
 
 
·············································8 分
∴
 
1, 3, 0CB  
，
3 3
0, ,
2 2
CP  
 
 
 
 
，
设平面
PBC
的法向量为
 
, ,x y zm
，
∴
0
0
CP
CB
m
m
,即
3 0
3 3 0
2 2
x y
y z
 
 
，取
1z
,则
 
3, 3,1m
，················· 10 分
设平面
ABD
与平面
PBC
的夹角为
，
∴
3 39
cos cos , 13
3 13
MP
MP
MP
 
m
m
m
，······························12 分
∴平面
ABD
与平面
PBC
夹角的余弦值为
39
13
.····································13 分
16.解法一：
（1）由题意
1 3
( ) sin cos( ) sin cos sin( )
6 2 2 3
f x x x x x x
 
 
 
·····································································································2 分
因为
 
f x
图象的两条相邻对称轴间的距离为
π
2
，
所以周期
2π π
22
T
 
，故
2
，所以
 
π
sin 2 3
f x x
 
 
 
 
，·····················4 分
当
 
0,x m
时，
π π π
2 , 2
3 3 3
x m
 
 
 
 
，················································· 5 分
因为
 
f x
在区间
 
0, m
上有最大值无最小值，所以
π π 3π
2
2 3 2
m  
，········· 6 分
解得
π 7π
12 12
m 
，所以
m
的取值范围为
π 7π
,
12 12
 
 
.··································· 7 分
{#{QQABDYaEoggoAJJAABhCQQUgCkAQkAEAAKoGwAAIMAAAiBFABCA=}#}
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