厦门双十中学2024届高三热身试卷数学试题

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厦门双十中学 2024 届高三热身考试数学试题
考试时间 120 分钟，祝考试顺利！
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合
1
{ 0 3}, lg 2
A x x B x x
 
 
 
 
∣
，则（ ）
A．
A B
B．
B A
C．
A B  
D．
A B R
2．若方程
 
2 2 2
1 1 1m x m y m  
表示焦点在
x
轴上的椭圆，则（ ）
A．
1 1m 
B．
0 1m 
C．
1 0m 
D．
1 0m 
或
3．设 l，m，n是不同的直线，m，n在平面
内，则“
l m
且
l n
”是“
l
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在菱形
ABCD
中，
2AB
，点
,E F
分别为
BC
和
CD
的中点，且
4AB AF 
 
，则
AE BF 
 
（ ）
A．1 B．
3
2
C．2 D．
5
2
5．已知等差数列
 
n
a
的前
n
项和为
n
S
，若
26S
，
420S
，则
7
S
（ ）
A．52 B．54 C．56 D．58
6．已知
4
sin2 5
 
，则
tan2
π
tan 4
 
 
 
（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
7．已知
( 1) 1y f x  
为奇函数，则
( 1) (0) (1) (2) (3)f f f f f     
（ ）
A．
12
B．
10
C．
6
D．
5
8．在圆台
1 2
O O
中，圆
2
O
的半径是圆
1
O
半径的 2倍，且
2
O
恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球
的表面积之比为（ ）
A．
3: 4
B．
1: 2
C．
3:8
D．
3:10
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．袋子中有 6个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件
A
“取出的球
的数字之积为奇数”，事件
B
“取出的球的数字之积为偶数”，事件
C
“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）
A．事件
A
与
B
是互斥事件 B．
 
1
5
P A
C．
 
1
|3
P B C
D．事件
B
与
C
相互独立
{#{QQABSQQQogAIQIBAAQgCEwHgCAMQkAGAAQgOAAAEsAABgBNABAA=}#}
10．函数
 
π π
4sin 0 2, 2 2
f x x
 
 
  
 
 
的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A.
π
6
 
B．
 
f x
的图象关于直线
πx
对称
C．
 
1 2π
4cos 2 3
f x x
 
 
 
 
D．若方程
 
2f x
在
 
0, m
上有且只有 5个根，则
26π ,10π
3
m 
 
11．已知双曲线 C：
2
21
3
y
x 
的左、右焦点分别为
1
F
，
2
F
，直线
l
：
 
1x my m R
与C的左、右两支
分别交于 M，N两点（点 N在第一象限），点
0
1,
2
P y
 
 
 
在直线
l
上，点 Q在直线
2
NF
上，且
1 2
QF PF∥
，则（ ）
A．C的离心率为 3 B．当
3m
时，
3 3
2
MN
C．
2 2
PF M NF P  
D．
2
QF
为定值
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12．若复数
 
4 5 iz a a   
在复平面内对应的点位于第三象限，则实数
a
的取值范围是 ▲
13．已知
5
2
3
3a
xx
 
 
 
的展开式中所有项的系数之和为 32，则展开式中的常数项为 ▲ .
14．在
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，
120ABC  
，
ABC
的平分线交
AC
于点
D
，
且
1BD
，则
2a c
的最小值为 ▲ . ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
的棱长为 2，
, ,E F G
分别是
1,CC BC AD,
的中点.
(1)求证：
CG
/ /
面
1
D EF
；
(2)求点
G
到平面
1
D EF
的距离.
{#{QQABSQQQogAIQIBAAQgCEwHgCAMQkAGAAQgOAAAEsAABgBNABAA=}#}
16．已知函数
( ) 2ln ( )
m
f x x x m
x
  R
．
(1)当
3m 
时，求函数
( )f x
的单调区间；
(2)若不等式
( ) 0f x
对任意的
[1, )x 
恒成立，求实数 m的取值范围．
17.某地推动乡村振兴发展，推广柑橘种植，经品种改良，农民经济收入显著提高.为了解改良效果，合作社
工作人员在该农村地区 2000 棵果树抽取 20 棵测量果实平均直径（单位：cm）.得到数据如下：
7.11 7.35 6.93 7.11 7.06 7.23 7.16 7.05 7.12 7.09
6.87 7.19 7.12 7.08 7.12 7.11 7.25 6.99 7.12 7.14
根据经验，果实平均直径服从正态分布
 
2
,N
 
，以样本平均数
x
作为
的估计值
，样本标准差
s
作为
的估计值
.为提高果实品质，需要将直径小于
3
 
的果实提前去除，果实直径大于 7.2cm 的即为优果，
在该种培育方法下，平均每棵果树结果 50 个.经计算得
7.11x
，
0.11s
.
(1)估计优果的个数；
(2)为进一步提升柑橘质量，需要清除果实较小的果树，专家建议在每棵果树中抽取
n
个测量果实直径，如
果出现果实小于
3
 
的果实，则认为该果树为果实较小.
（ⅰ）试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加；
（ⅱ）根据小概率值
0.005
及（ⅰ）中结论确定
n
的值，估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数.
附：若
 
2
,X N
 
，则
 
3 0.9973P X
 
 
；
ln 0.995 0.005 
，
ln 0.99865 0.0014 
.
{#{QQABSQQQogAIQIBAAQgCEwHgCAMQkAGAAQgOAAAEsAABgBNABAA=}#}
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