福建省厦泉五校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试 数学 含答案
厦泉五校 2023-2024 学年高一年级第二学期期中联考
数学科试卷
（考试时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：柳明全 审核人：苏培坤 ）
试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（共 58 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．在复平面内，复数 （其中
i
为虚数单位
¿
对应的点位于 (] ])
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．已知向量
a
⃗
=(m+1, m− 1)
，
⃗
b=(−1,m)
，
⃗
c=(−1,1)
，若
(2a
⃗
+b
⃗
)⊥c
⃗
，则
m=¿
( ]])
A. B.
3
C. D.
5
3.如图，平行四边形
ABCD
的对角线相交于点
O
，
E
为 的中
点，若 则 等于(]])
A.
1
B.
−1
C.
1
2
D.
−1
2
4.正四棱台的上、下底面边长分别是
2
和
4
，侧棱长是 ，则该棱台的体积是(] ])
A. B. C.
20
D.
21
5.若向量
a
⃗
=( x , 2), b
⃗
=(2,3), c
⃗
=(2, − 4)
，且
⃗
a/¿
⃗
c
，则
⃗
a
在
⃗
b
上的投影向量为 (] ])
A. B. C. D.
6．在
△ABC
中， BC 边上的高等于 则
sin A=¿
(] ])
A. B. C. D.
7．已知三棱锥
S − ABC
的所有顶点都在球
O
的球面上，
ΔABC
是边长为
1
的正三角形，
SC
为球
O
的直径，
且
SC=2
，则此棱锥的体积为 (] ])
A. B. C. D.
8. 在锐角
△ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，
△ABC
的面积为
S
，若 ，
则 的最小值为 (] ])
A.
√
2
B.
2
C.
1
D.
2
√
2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．对于非零向量
⃗
a ,
⃗
b
，下列命题正确的是 (]])
A. 若
a
⃗
⋅b
⃗
=0
，则
⃗
a/¿
⃗
b
B. 若
⃗
a⊥
⃗
b
，则
a
⃗
⋅b
⃗
=(a
⃗
⋅b
⃗
)2
C. 若
a
⃗
⋅c
⃗
=b
⃗
⋅c
⃗
，则
⃗
a=
⃗
b
D. 若
|
a
⃗
− b
⃗
|
=
|
a
⃗
+b
⃗
|
，则
a
⃗
⋅b
⃗
=0
10．如图，已知正方体
ABCD− A1B1C1D1
的棱长为
2
，则下列四个结论正确的是( ]])
A. 直线
A1C1
与
A D1
为异面直线
B.
A1C1/¿
平面
AC D1
C. 正方体的外接球的表面积为
12 π
D. 三棱锥
D1− ADC
的体积为
11．在
△ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且 若
△ABC
有唯一解，则
a
的值
可以是(]])
A.
1
B.
√
3
C.
√
2
D.
√
5
第Ⅱ卷（共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知向量
a
⃗
，
⃗
b
满足
¿a
⃗
∨¿1
，
¿b
⃗
∨¿
√
2
，
¿2a
⃗
−b
⃗
∨¿
√
2
，则
a
⃗
与
⃗
b
的夹角为
13．如图，在离地面高
200 m
的热气球上，观测到山顶
C
处的仰角为
15 °
、山脚
A
处的俯角为
45 °
，已知
∠BAC =60 °
，则山的高度
BC
为
m .
第 13 题图 第 14 题图
14. 在
《
九章算术
》
中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，
一条侧棱垂直于底面的四棱锥
.
如图，在堑堵
ABC − A 1B1C1
中，
AC ⊥BC
，
A A1=AB=2
√
2
，则当堑
堵
ABC − A 1B1C1
的体积最大时，阳马
B− A1AC C1
的体积为 ．
四、解答题：本小题共 5 小题，共 77 分，其中第 15 题 13 分，16~17 题各 15 分，18~19 题各 17 分。解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15（本小题满分 13 分）
已知复数 ，复数 在复平面内对应的向量为 ，
（1）若 为纯虚数，求
的
值；
（2）若 在复平面内对应的点在第四象限，求 的取值范围．
16．（本小题满分 15 分）
在
△ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
¿
．
(1)
求
B
的大小；
(2)
若 且
BD
是
AC
边的中线，求 的长度．
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