福建省厦门第二中学2023-2024学年高一下学期第一阶段考试数学试卷

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厦门二中 2023-2024 学年第二学期高一年段第一阶段考数学科试卷

命卷教师：谢小花审卷教师：傅磊

班级：___________姓名：___________座号：___________（考试时间：120 分钟）

一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.）

1．已知是虚数单位，则

（888 8）

A．B．C．D．

2．已知平面向量满足且，则（8

）

A．B．5 C．D．6

3．记的内角 A，B的对边分别为 a，b，则“ ”是“ ”的

（888 8）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．如图，AB 是底部 B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，为了测量建筑物高度 AB，我们选择一

条水平基线 HG，使 H，G，B三点在同一直线上，经测量，在 G，H两点用测角仪器测得 A的仰角分别是

，，米，测角仪器的高是 1.5 米，则该建筑物的高 AB 约为

（88 8）

（参考数据：）

A．13.5 米

B．14.2 米

C．15.2 米

D．16.5 米

5．数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位

于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点

分别为任意的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是

（8888 ）

A． B． C． D．

6．我国油纸伞的制作工艺非常巧妙.如图 1，伞不管是张

开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所

成的角，且，从而保证伞圈能够沿

着伞柄滑动.如图 2，伞完全收拢时，伞圈已滑到

的位置，且三点共线，为的

中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，

的余弦值是（888 8）

A．B．C．D．

7．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且为边上的高，为边

上的中线，则的值为

（888 8）

A．2 B．－2 C．6 D．－6

8．已知 M是边长为 1的正三角形 ABC 的边 AC 上动点，N为AB 的中点，则

⃗

的取值范围是（

）

A.［－

，－

］ B.［－

，－

］ C.［－

，－

］ D.［－

，－

］

二、多选题（本题共 3小题，共 18 分，每小题 6分，全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错得 0分.）

9．已知复平面内表示复数的点为，则下列结论中正确的为

（88 88）

A．若，则 B．若在直线上，则

C．若为纯虚数，则 D．若在第四象限，则

10．如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为，、为正八边形内的

点（含边界），在上的投影向量为，则下列结论正确的是

（888888）

A．

B．

C．的最大值为

D．

11．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后

人称其为“赵爽弦图” 如图，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通

过类比得到图，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形

，对于图，下列结论正确的是

（888 8）

A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形

B．若，，则

C．若，则

D．若是的中点，则三角形的面积是三角形

面积的倍

三、填空题(本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.)

12．请写出与向量反向的单位向量： .（用坐标表示）

13．已知平面向量，，若与共线，则实数．

14．在中，为上一点，，，则；若，则

．

四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15．（本题满分 13 分）

已知向量，，且与的夹角为．

(1)求及；

(2)求在上的投影向量的坐标．

16．（本题满分 15 分）

在中，已知，，分别是的中点，设，．

（1）分别用、表示和；

（2）设与交于点，求的余弦值．

17．（本题满分 15 分）

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