福建省泉州市2024届高中毕业班质量监测（三）数学试题参考答案与解答题评分细则

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高三数学试题 第 1页（共 8页）
泉州市 2024 届高中毕业班质量监测（三）
2024.03
高三数学
本试卷共 19 题，满分 150 分，共 8页。考试用时 120 分钟。
一、选择题答案：
1. B 2.C 3.C 4．B 5．C．6．D．7．A 8．D
二、选择题答案：
9.AD 10.BCD 11.ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．
5
13.
24x y
16
3
14．
3
e
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
如图，在三棱锥
ABCP
中，
2PA PC AB AC  
，
2 2BC
，
E
为
的中点，点
F
在
PA
上，且
EF
平面
PAB
，
 
PM PB
( )
R
．
（1）若
MF
‖
平面
ABC
，求
；
（2）若
1
2
，求平面
PAB
与平面
MAC
夹角的正弦值．
【命题意图】本题考查空间点、直线与平面间的位置关系等知识；考查推理论证、运算求解
等能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等；体现应用性、创新性、综合
保密★使用前
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高三数学试题 第 2页（共 8页）
性，导向对直观想象、数学运算等核心素养的关注.
解法一：（1）依题意得,
PAC△
为正三角形，取
PA
中点
N
，
连结
CN
，则
PACN
，
因为
EF
平面
PAB
，所以
PAEF
，
CNEF ∥
，················································································· （2分）
又因为
E
为
PC
的中点，所以
F
为
PN
中点，则
PAPF 4
1
，················· （3分）
因为
∥MF
平面
ABC
，
MF
平面
PAB
，
平面
PAB
平面
ABABC
，即
ABMF ∥
，······································（5分）
也即
PBPM 4
1
，
1
4
. ·······························································（6分）
（2）因为
CNEF ∥
，则
CN
平面
PAB
，且
3CN
························· （7分）
又因为
EF
平面
PAB
，所以
ABEF
，···········································（8分）
由
2 AB AC
,
2 2BC
可知
2 2 2
 BC AB AC
，
则
ABC△
为等腰直角三角形，
ACAB
，
又因为
EF
与
AC
相交于平面
PAC
，所以
AB
平面
PAC
，················· （10 分）
PAB△
为等腰直角三角形，
M
为斜边
PB
中点，则
PAM△
也为等腰直角三角形，
取
AM
中点
H
，则
AMNH
，且
2
2
NH
，
连结
CH
，
AM
平面
CNH
，
则
CHAM
，
CHN
为二面角
CAMP
的平面角， ····················· （11 分）
在
CHNRt△
中，
2 2 1 14
32 2
CH CN NH  
{#{QQABDY4QgggAAAAAAAhCAwVqCAKQkAEACAoGwFAMsAABCBFABAA=}#}
高三数学试题 第 3页（共 8页）
则
3 42
sin .
7
14
2
CN
CHN CH
 
···················································· （13 分）
解法二：
（1）同解法一；
（2）因为
EF
平面
PAB
，所以
ABEF
，······································ （7分）
由
2 AB AC
,
2 2BC
可知
2 2 2
 BC AB AC
，
则
ABC△
为等腰直角三角形，
ACAB
，
取
AC
中点
O
，连结
PO
，则
ACPO
，
取
BC
中点
Q
，连结
OQ
，则
ABOQ ∥
，
又因为
EF
与
AC
相交于平面
PAC
，所以
AB
平面
PAC
，··················· （9分）
也即
OQ
平面
PAC
，
所以
OQ
，
OC
，
OP
两两相互垂直，以
O
为原点，
OQ
，
OC
，
OP
所在直线分
别为
x
轴，
y
轴，
z
轴，建立空间直角坐标系.
)0,1,0( A
，
)0,1,2( B
，
)0,1,0(C
，
)3,0,0(P
，
)
2
3
,
2
1
,0(E
，
)
4
33
,
4
1
,0( F
，
)
2
3
,
2
1
,0( M
，
)
2
3
,
2
1
,1(AM
，
)0,2,0(AC
，
)
4
3
,
4
3
,0( EF
，······（10 分）
设平面
MAC
的一个法向量
),,( zyxn
，则
0AMn
，
0ACn
，即
.02
,0
2
3
2
1
y
zyx
取
2z
，则
3x
，
所以
)2,0,3(n
为平面
MAC
的一个法向量. ··································· （11 分）
n
n
n
EF
EF
EF，cos
7
7
4
3
7
2
3
，
记平面
PAB
与平面
MAC
夹角为
，
1 42
sin 1 .
7 7
 
···················· （13 分）
解法三：
（1）因为
EF
平面
PAB
，所以
ABEF
，
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