福建省莆田第六中学2023-2024学年高三上学期1月质检模拟测试 数学 含解析

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莆田六中高三上学期 1月模拟测试数学学科试卷
命题人：高三备课组 审核人：高三备课组
一．选择题（每题 5 分，共 40 分，每题只有一个符合题意的选项）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 满足 ，则 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5.亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等 6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，
乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）
A. 288 种B. 360 种C. 480 种D. 504 种
6. 若函数 ， 的值域为 ，则 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
7. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，则对所有这样的函数 ，由下列
条件一定能得到 的是（ ）
A. B. C. D.
二．多项选择题（每题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对
的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）
9. 在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 图中所有小长方形的面积之和等于 1
B. 中位数的估计值介于 100 和105 之间
C. 该班成绩众数的估计值为 97.5
D. 该班成绩的极差一定等于 40
10. 一副三角板由两个直角三角形组成，如图所示，
且 ，现将两块三角板拼接在一起，得到三棱锥
，取 和 中点 、 ，则下
列判断中正确的是（ ）
2
( ) sin lnf x x x 
A. 直线 面
B. 三棱锥 体积为定值.
C. 与面 所成的角为定值
D. 设面 面 ，则 ∥
11．已知抛物线 的焦点为 F，点 P在抛物线上，点 ，点 P到点 Q和到 y轴
的距离分别为 ，则（ ）
A．抛物线 C的准线方程为
B．若 ，则 周长的最小值等于 3
C．若 ，则 的最小值等于 2
D．若 ，则 的最小值等于
12. 定义在 上
的
函数 的导函数为 ，对于任意实数 ，都有 ，
且满足 ，则（ ）
A. 函数 为奇函数
B. 不等式 的解集为
C. 若方程 有两个根 ， ，则
D. 在 处的切线方程为
三．填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13.
的
展开式中 的系数为______.（用数字作答）．
14. 等比数列 的前 n项和为 ，若 ， ， ， ，则 =_____
_.
15.已知 为坐标原点， 分别是椭圆 的左顶点､上顶点和右焦点，点
在椭圆 上，且 ，若 ，则椭圆 的离心率为______.
16. 与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为 ， ，
且 ，则它的内切球的体积为______.
四．解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17．（10 分）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 边上的中线 的长为 ，求 的面积.
18．（12 分）在数列 中， ．
(1)证明：数列 为常数列．
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
19．（12 分）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，
， ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
ABCD
A
B
C
a
b
c
 
2 cos cosb c A a C 
A
7a
BC
AM
19
2
ABCD
 
n
a
1 1
1,2 2
n n
a a a n
 
 
1
1
n n
a a
 
1
4
n
nn
a
b
 
n
b
n
n
T
P ABCD
ABCD
//AD BC
AD DC
2 5PA PD PB  
12
2
BC DC AD 
E
AD
PE
ABCD
A PB C 
（3）记 的中点为 ，若 在线段 上，且直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，
求线段 的长.
20．（12 分）近年来我国新能源汽车产业迅速发展，下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年
份的统计表：
年份
销量 （万
台）
某机构调查了该地区 位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：
购置传统燃油
车
购置新能源车 总计
男性车主
女性车主
总计
(1)求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数 ，并判断 与 之间的线性相关关系的强
弱；（若 ，相关性较强；若 ，相关性一般；若 ，相关性较
弱）
(2)请将上述列联表补充完整，根据小概率值 的独立性检验，分析购车车主购置新能
源乘用车与性别是否有关系？
①参考公式：相关系数 ；
②参考数据： ； ③卡方临界值表：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706
3.84
1
6.635 7.879 10.828
其中 ， .
21．已知双曲线 ： 的离心率为 ，直线 ： 与双曲线C仅有一
个公共点.
(1)求双曲线 的方程
(2)设双曲线 的左顶点为 ，直线 平行于 ，且交双曲线C于M，N两点，
求证：△的垂心在双曲线C上.
22．（12 分）已知函数 .
(1)求曲线 在 处切线的斜率；
(2)当 时，比较与x的大小；
(3)若函数 ，且 （ ），证明： .
BC
M
N
PE
MN
PAB
EN
x
2018
2019
2020
2021
2022
y
1.60 1.70
1.90
2.20 2.60
100
35
60
25
100
y
x
r
y
x
 
0.75,1r
0.30, 0.75r
0, 0.30r
2 2
0.05
 
 
1 1
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
n n
i i i i
i i
n n n n
i i i i
i i i i
x x y y x y nx y
r
x x y y x nx y n y
 
 
 
 
 
 
 
6.6 2.6
 
 
2
2
n ad bc
a b c d a c b d
   
n a b c d   
 
2
ln 1 2
x
f x x  
 
y f x
1x
 
0,x 
 
f x
 
2
cos 2
x
g x x 
 
2
e 1
a
f g b
 
 
 
0, 0a b 
 
 
2
1 1f b g a 
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