湖南省2024届高三“一起考”大联考下学期模拟考试数学试题（四）（解析版）

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2024 届高三“一起考”大联考（模拟四）
数学
（时量：120 分钟 满分：150 分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得集合 ，可求 .
【详解】由 ，可得 ，所以集合 ，
由 ，可得 ，所以 ，
所以 .
故选:C.
2. 已知复数 满足 ，且 是纯虚数，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，其中 ， 是实数，由 求出 ，再求出 ，根据 的类型求出 ，
即可得到 ，最后根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.
【详解】设 ，其中 ， 是实数，则由 ，得 ，
所以 ，则 ，
又因为 是纯虚数，所以 ，解得 ，即 ，
所以 .
故选：B
3. 已知 ，平面向量 ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量的坐标运算结合二次函数性质求解即可.
【详解】易知
,故
，当 时， 最小，
此时由二次函数性质得 ，故 ，
故 的最小值为 ，故 A正确.
故选：A
4. 已知点 是直线 上一动点，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则线
段 长度的最小值为（　　）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得 ，则当 取得最小值时，线段 长度的最小，利用点到直线
的距离公式求出 的最小值即可得解.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
由题意可得 ，
则 ，
则当 取得最小值时，线段 长度的最小，
，
所以 .
故选：D.
5. 赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如下图，分别以 ， 为 轴、 轴正方
向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与 轴、 轴均相切， ， 两点间的曲线可近似看成函数
的图象， 有导函数 ，为了让雨水最快排出， 需要满足螺旋线方程 ，其
中 ， 为常数，则（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数图象的变化关系可得 ，再结合曲线与 y轴相切的特征推理即可得解.
【详解】观察图象知，函数 单调递减，即 ，于是 ，

标签： #大联考

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